Question

高等数学问题：设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)<1,求证：方程2x-∫(x,0) f(t)dt=1在(0,1)内有且只有一个实根

Answer 1

设F(x)=2x-∫(x,0) f(t)dt-1，则问题转化为求F(x)在（0,1）内有无零点的问题。
又∵F（x）的导函数=2-f(x)且f(x)<1，故F（x）的导函数在（0,1）内大于零。
导函数单调，F（x）只能有一个零点。
又∵F（0）=-1，F（1）=1-∫(1,0) f(t)dt>1--∫(1,0) 1dt =0，区间端点函数值异号，根据连续函数性质，F(x)在（0,1）内必有一个零点。
得证。

Answer 2

根的唯一性问题，固然想到应用罗尔定理
2x-∫(x,0) f(t)dt=1
2x+1=∫(x,0) f(t)dt
两边求导
你这积分的上下界是多少？？？？

Answer 3

设F（x）=2x-∫(x,0) f(t)dt-1=0,
F（0）=-1 ,
F(1)=1-f(1)>0
且F‘（x）>0
得证