Question

如图，AD是三角形ABC的角平分线，DE垂直AB，DF垂直AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于G，AD与EF 垂直

吗？证明你结论

Answer 1

垂直
证明：因为AD平分角，DE,DE分别垂直AB,AC
所以角平分线上的点到角两边的距离相等，DE=DF
由三角形全等的判定定理得：三角形AED全等于三角形AFD
所以AE=AF
在三角形AEG和三角形AFG中，AE=AF,角EAG=角FAG,AG=AG
所以三角形AEG全等于三角形AFG
所以角AGE=角AGF=90°
所以AD垂直于EF

Answer 2

垂直
证明：因为AD平分角，DE,DE分别垂直AB,AC
所以角平分线上的点到角两边的距离相等，DE=DF
由三角形全等的判定定理得：三角形AED全等于三角形AFD
所以AE=AF
在三角形AEG和三角形AFG中，AE=AF,角EAG=角FAG,AG=AG
所以三角形AEG全等于三角形AFG
所以角AGE=角AGF=90°
所以AD垂直于EF

Answer 3

证明：
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠EAD＝∠FAD
又∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠AED＝∠AFD＝90°
边AD公共
∴Rt△AED≌Rt△AFD（AAS）
∴AE＝AF
即△AEF为等腰三角形
而AD是等腰三角形AEF顶角的平分线
∴AD⊥底边EF
（等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一”）QQ675407486

Answer 4

AD与EF垂直。
证明:AD平分角BAC;DE⊥AB，DF⊥AC.
∴DE=DF(角平分线上的点到这个角两边距离相等);
又AD=AD,则Rt⊿AED≌RtΔAFD(HL),AE=AF.
∴AD⊥EF.(等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高）

Answer 5

垂直
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE,DF分别垂直AB,AC
∴DE=DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)
△AED与△AFD中
{AD=AD(已知)
{∠AED=∠AFD（已知）
{ED=FD(已证)
∴△AED全等于△AFD （SAS）
∴AE=AF（全等三角形的对应边相等）
在△AEG和△AFG中，
AE=AF,
∠EAG=∠FAG,
AG=AG
∴△AEG全等于△AFG(SAS)
∴∠AGE=∠AGF=90°
∴AD⊥EF