Question

设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x轴上，离心率为二分之根号三，已知P(0,3/2)到这个椭圆上的点。。，求坐标

已知P到这个椭圆上的点的最远距离为根号7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P距离为根号7的点Q坐标。

Answer 1

解：设所求椭圆的方程为x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0)
由e²=c²/a²=1-(b/a)²=3/4得b/a=1/2
设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则
d²=x²+(y-3/2)²=a²-a²y²/b²+(y-3/2)²
``=-3y²-3y+4b²+9/4
``=-3(y+1/2)²+4b²+3
其中-b≤y≤b,如果b<1/2,则当y=-b时,d²取得最大值.
(√7)²=(b+3/2)²,解得b=√7-3/2>1/2与b<1/2矛盾.
故b≥1/2.
当y=-1/2时,d²取得最大值(√7)²=4b²+3,解得b=1,a=2
所求椭圆方程为x²/4+y²=1
由y=-1/2可求得到点的距离等于√7的坐标为(±√3,-1/2).