Question

前辈们教教我5道高一数学题，虽然不是很难但我很难懂啊~求过程，可加分~！

(1)已知x+y=1，求x3+y3+3xy的值。
(2)已知x2﹣3x+1=0，求x3+﹙1／x3﹚的值。
(3)已知x2+y2+z2﹣2x＋4y﹣6z+14=0，求x+y+z的值
(4)试说明，若a为整数，则a3﹣a能被6整除。

Answer 1

1. x³+y³+3xy=(x+y)(x²-xy+y²)+3xy=x²-xy+y²+3xy=(x+y)²=1
2. 把x²-3x+1=0 两边同时除以x 得 x-3+1/x=0 即 x+1/x=3
平方得 x²+2+1/x²=9 即 x²+1/x²=7
从而 x3+ 1/x3=(x+1/x)(x²-1+1/x²)=3×(7-1)=18
3. 配方得 (x-1)²+(y+2)²+(z-3)²=0 所以 x-1=y+2=z-3=0
从而 x=1 y=-2 z=3 从而 x+y+z=2
4 a3-a=a(a²-1)=a(a-1)(a+1)
a-1 a a+1为连续的三个整数，其中至少有一个数是2的倍数，也至少有一个数是3的倍数
所以能倍2×3=6整除

Answer 2

(1)已知x+y=1，求x3+y3+3xy的值。
x3+y3+3xy=(x+y)(x2-xy+y2)+3xy=x2-xy+y2+3xy=(x+y)^2=1

(2)已知x2﹣3x+1=0，求x3+﹙1／x3﹚的值。
由伟大定理知，方程的两根之积为1，当X时方程的一个根时，另一个根为1/x, 所以x+1/x=3,
由立方和公式x3+﹙1／x3﹚=(x+1/x)(x2-1+1/x2)=3(x2-1+1/x2)=3(x+1/x)^2-9=18

(3)x2+y2+z2﹣2x＋4y﹣6z+14=(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=0
所以 x=1 y= -2 z=3 , x+y+z = 2

(4) a3﹣a=a(a2-1)=a(a-1)(a+1),
a,(a-1),(a+1) 是三个连续的整数，必有一个偶数和一个能被三整除的数，
所以乘积能被6整除

Answer 3

（1）由（X+Y）^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3可知：
原式=（x+y）^3+3xy-3x^2y-3xy^2=（x+y）^3+3xy（1-x-y）
将x+y=1代入上式有
原式=1
（2）由x^2-3x+1=0有
显然x不等于0，则将该等式两边均除以x可得
x+1/x=3
等式两边均三次方可有：
x^3+3x+3/x+1/x^3=27
将x+1/x=3代入上式即得
x^3+1/x^3=27-3×3=18
（3）原式可化为：
(x^2-2x+1)+(y^2+4y+4)+(z^2-6z+9)=0
即为（x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=0
由于（x-1)^2≥0，（y+2)^2≥0，(z-3)^2≥0,因此
x=1，y=-2，z=3
则x+y+z=2
（4）原式=（a-1)a(a+1)
此三数为连续整数，则必有一数被3整除，另一数为偶数，则该式必能被6整除。