Question

请教一个高二数学几何题

在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PD垂直平面ABCD，PD=AB , E、F、G分别是PC、PD、BC的中点 （1）在线段PB上确定一点Q，使PC垂直平面ADQ，并证明。（2）证明平面EFG垂直平面PAD，并求出D到平面EFG的距离。

会的说下啊！~~O(∩_∩)O谢谢

Answer 1

（1）证明：作PB中点Q，连结AQ.DQ.EQ
因为点Q.E分别是PB.PC的中点
所以EQ//BC
又AD//BC，则EQ//AD
即点A.D.E.Q四点共面
因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD
又在底面正方形ABCD中，AD⊥CD
则AD垂直于平面PCD内的两条相交直线PD和CD
所以AD⊥平面PCD
又PC在平面PCD内，则AD⊥PC
在Rt△PCD中，PD=CD=AB，点E是斜边PC中点
所以PC⊥DE
因为DE和AD是平面ADQ内的两条相交直线
所以由线面垂直的判定定理可得：
PC⊥平面ADQ

（2）作AD中点H，连结GH.FH，作FH中点O，连结DO
因为在正方形ABCD中，点G.H分别是BC.AD的中点
所以易得GH//CD
又在△PCD中，点E.F分别是PC.PD的中点
则EF//CD
所以GH//EF，即点E.F.GH四点共面
因为PD=AD=AB，所以DF=DH=PD/2=DH/2
则可知△FDH是等腰直角三角形
又点O是斜边FH的中点
所以DO⊥FH且DO=FH/2=PA/4=(√2/4)*AB
又PD⊥CD，AD⊥CD
所以CD⊥平面PAD
因为EF//CD，所以EF⊥平面PAD
又DO在平面PAD内，则EF⊥DO
这就是说DO垂直于平面EFG内的两条相交直线EF.FH
所以DO⊥平面EFG
即垂线段DO就是点D到平面EFG的距离
其距离为(√2/4)*AB （注：若原题中已确定正方形边长大小，直接取代AB即可）