Question

一道数列题：数列 1，3/2，7/5，17/12。。。。满足：a1=1，a(n+1)=(an+2)/(an+1)(n为正整数)，求通项an.

Answer 1

[a(n+1)+√2]/[a(n+1)-√2]=[(√2+1)an+2+√2]/[(1-√2)an+2-√2]
=[(√2+1)(an+√2)]/[(1-√2)(an-√2)]
=[(√2+1)/(1-√2)][(an+√2)/(an-√2)]
=(-3-2√2)[(an+√2)/(an-√2)]
所以[(an+√2)/(an-√2)]=(-3-2√2)[(a（n-1）+√2)/(a（n-1）-√2)]
=(-3-2√2)^2[(a（n-2）+√2)/(a（n-2）-√2)]
=.......
=(-3-2√2)^(n-1)[(a1+√2)/(a1-√2)]
=(-3-2√2)^n
所以[(an+√2)/(an-√2)]=(-3-2√2)^n
所以an+√2=(-3-2√2)^n*(an-√2)
所以an[(-3-2√2)^n-1]=√2[(-3-2√2)^n+1]
所以an√2[(-3-2√2)^n+1]/[(-3-2√2)^n-1]

当然，你可能会奇怪为什么我会构造出[a(n+1)+√2]/[a(n+1)-√2]的式子，其实这是一类的题目
以后遇到a(n+1)=(an+p)/(an+q)形式的数列，都可以构造出方程x=(x+p)(x+q)，解出x1,x2
然后化简[a(n+1)-x1]/[a(n+1)-x2]，你会发现一定能化成k*(an-x1)/(an-x2)的形式，这样就构造出了一个递推式
就像原题：构造方程x=(x+2)/(x+1)，解得x=正负√2，于是就有了上面的结果
这称作不动点法，当然，目前我只知道a(n+1)=(an+p)/(an+q)形式的数列可以用不动点法，其它形式的数列就不一定可以了