Question

高中数学函数题

f(x)=e^x,直线l:y=kx+b为曲线y=f(x)切线。
（1）求证：f(x)≥kx+b恒成立。
（2）若f(x)≥kx+b对任意x∈[0,+∞）恒成立，求实数k、b取值范围。

Answer 1

f（x）=e^x
f'(x)=e^x
过函数图象上任一点P（t,f（t））
该点切线斜率为f'(t)=e^t
设直线为y=(e^t)x+b
直线过P点，得f(t)=(e^t)*t+b
b=e^t-(e^t)*t
b=(1-t)e^t
切线方程为y=(e^t)x+(1-t)e^t

f(0)≥b
b≤1
f（x）≥kx+b
e^x-kx-b≥0 x∈[0，正无穷）
设函数F(x)=e^x-kx-b
导函数为 e^x-k

当e^x-k≥0，原函数在定义域上为单调递增函数
则k≤0时横成立， x∈[0，正无穷）
当k＞0，e^x≥k
x≥Ink时原函数在x∈[0，正无穷）上为单调递增
Ink≤0
0＜k≤1
k∈(-∞，1]

当e^x-k在x∈[0，正无穷）有最小值，最小值大于等于0时成立
k＞1
e^x-k=0时为函数拐点
x=Ink
f(Ink)=k-k*(Ink)-b≥0
k-k*(Ink)-b≥0 （b≤1）
对于此函数b=1时k无解，就可判断k大于1时对于b≤1没有解

k≤1
b≤1

追问

求证：f(x)≥kx+b恒成立 的在哪里？

追答

（1）证明：∵f'（x）=ex
记切点为T（t，et），
∴切线l的方程为y-et=et（x-t）
即y=etx+et（1-t）
记函数F（x）=f（x）-kx-b，
∴F（x）=ex-etx-et（1-t）
∴F'（x）=ex-et
∴F（x）在x∈（-∞，t）上为减，在x∈（t，+∞）为增
故Fmin（x）=F（t）=et-ett-et（1-t）=0
故F（x）=f（x）-kx-b≥0
即f（x）≥kx+b对任意x∈R成立