Question

已知f(x)为二次函数,且f(x-1)=f(-x-1),且f(0)=3,图象在x轴上截得的线段长为4，求f(x)的解析式

Answer 1

设f(x)=ax^2+bx+c，由f(0)=3得c=3
又f(x-1)=f(-x-1),得a(x-1)^2+b(x-1)+3=a(x+1)^2-b(x+1)+3解得，b=2a，则f(x)=ax^2+2ax+3
设方程f(x)=0的两根为x1,x2.由题意得|x1-x2|=sqrt((x1+x2)^2-4x1*x2)=sqrt(4-12/a)=4,解得a=-1
所以f(x)=-x^2+2x+3

Answer 2

f(x-1)=f(-x-1)
所以函数图象关于x=-1对称
在x轴上截得的线段长为4
所以图象与x轴交点到对称轴的距离是2
即交点的横坐标分别是 -3，1
设函数解析式是 f(x)=a[x+3][x-1]=a(x²+2x-3)
图象与y轴交点是(0,3)，代入坐标得
3=a(0+0-3)，求得a=-1
f(x)=-x²-2x+3