Question

在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC，交AC于D点。求证：BC=AB+CD

Answer 1

在 BC 上取点E ,使 CE = CD ,连接DE

三角形 CED 是等腰三角形
∠C = (180 - 108)/2 = 36
∠DEC = (180 -36)/2 = 72
∠DEB = 180 - 72 = 108
所以
∠DEB = ∠A

在三角形 DEB 和 DEA中
∠DEB = ∠A
∠DBE = ∠DBA (因为BD是角平分线)
BD = BD (公共边)

根据 角角边定理
△DEB≌△DAB
对应边相等, 则
BE =AB
因此
BC = BE + EC = AB + CD

Answer 2

在 BC 上取点E ,使 CE = CD ,连接DE

三角形 CED 是等腰三角形
∠C = (180 - 108)/2 = 36
∠DEC = (180 -36)/2 = 72
∠DEB = 180 - 72 = 108
所以
∠DEB = ∠A

在三角形 DEB 和 DEA中
∠DEB = ∠A
∠DBE = ∠DBA (因为BD是角平分线)
BD = BD (公共边)

根据 角角边定理
△DEB≌△DAB
对应边相等, 则
BE =AB
因此
BC = BE + EC = AB + CD

Answer 3

证明：在线段BC上截取BE=BA，连接DE．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD=12∠ABC．
在△ABD和△EBD中，
BE=BA∠ABD=∠EBDBD=BD(公共边)​
，
∴△ABD≌△EBD．（SAS）
∴∠BED=∠A=108°，∠ADB=∠EDB．
又∵AB=AC，∠A=108°，∠ACB=∠ABC=12×（180°-108°）=36°，
∴∠ABD=∠EBD=18°．
∴∠ADB=∠EDB=180°-18°-108°=54°．
∴∠CDE=180°-∠ADB-∠EDB=180°-54°-54°=72°．
∴∠DEC=180°-∠DEB=180°-108°=72°．
∴∠CDE=∠DEC．
∴CD=CE．
∴BC=BE+EC=AB+CD．