Question

数列{an}满足a1=1,a(n+1)=an+2N-1,求通项公式an

Answer 1

解：
∵a(n+1)=an+2n-1
∴a(n+1)-an=2n-1
∴a[(n-1)+1]-a(n-1)=2(n-1)-1，即an-a(n-1)=2n-3(n≥2)
根据an-a(n-1)=2n-3，可以得到下列等式：
an-a(n-1)=2n-3；a(n-1)-a(n-2)=2(n-1)-3=2n-5；a(n-2)-a(n-3)=2(n-2)-3=2n-7……
a4-a3=2×4-3=5；a3-a2=2×3-3=3；a2-a1=2×2-3=1
把这些式子罗列起来：
an-a(n-1)=2n-3；
a(n-1)-a(n-2)=2(n-1)-3=2n-5；
a(n-2)-a(n-3)=2(n-2)-3=2n-7
……
a4-a3=2×4-3=5；
a3-a2=2×3-3=3；
a2-a1=2×2-3=1.
把这些式子中等号的左边的式子依次相加：
(an-a(n-1))+(a(n-1)-a(n-2))+(a(n-2)-a(n-3))+……+(a4-a3)+(a3-a2)+(a2-a1)=an-a1
再把这些式子中等号的右边的式子依次相加：
(2n-3)+(2n-5)+(2n-7)+……+5+3+1=(n-1)[(2n-3)+1]/2=(n-1)^2=n^2-2n+1
那么an-a1=n^2-2n+1
∵a1=1
∴an-1=n^2-2n+1
∴an=n^2-2n+2.

Answer 2

a（n+1)-an=2n-1,an=a1+a2-a1+a3-a2+......+a(n-1)-a(n-2)+an-a(n-1)=1+1+3+5+...+2n-1-1=1+n^2(n>=2),n=1,an=1