Question

已知函数f(x)=(x2+2x+a)/x，X属于【1到正无穷大】

1.当a=0.5时，求f(x)的最小值
2.若对任意x属于【1到正无穷大】，f(x)大于0恒成立，试求实数a的取值范围

Answer 1

首先 f(x) = x + a/x + 2
1、当a = 0.5时，f(x) = x + 1/2x + 2极值点在x = √(1/2) < 1处所以取不到
在[1,正无穷)上单调增，最小值在 f(1) = 7/2
2、f(x) > 0 <=> x2 + 2x + a > 0 <=> a > -x2 - 2x
因此取右边函数在[1,正无穷)上的最大值（因为是恒成立问题）等于-2
所以a > -2

Answer 2

解：
1、当a=0.5时，f(x)=(x^2+2x+1/2)/x，对f(x)进一步化简为：f(x)=x+1/(2x)+2 >= 2(√x) * √(2x) +2
即：f(x) >= 2 + √2
2、由1知，f(x) >= √a + 2，因此，a>=0