Question

在数列｛an｝中，a1=1,n大于等于2时，an,Sn,Sn-1/2成等比数列，求通项an

Answer 1

在数列｛a‹n›｝中，a₁=1，n大于等于2时，a‹n›，S‹n›，Sn-(1/2)成等比数列，求通项a‹n›
解：S‹n›²=a‹n›(S‹n›-1/2) (n≧2)....................(1)
取n=2，则有S²₂=a₂(S₂-1/2)，即(a₁+a₂)²=a₂(a₁+a₂-1//2)，
用a₁=1代入得：(1+a₂)²=a₂(a₂+1/2)，即有：1+2a₂+a²₂=a²₂+(1/2)a₂，
（3/2）a₂=-1；∴ a₂=-2/3.
又S‹n›/a‹n›=(S‹n›-1/2)/S‹n›，用a‹n›=S‹n›-S‹n-1›代入得：
S‹n›/(S‹n›-S‹n-1›=(S‹n›-1/2)/S‹n›，
故有S²‹n›=(S‹n›-S‹n-1›)(S‹n›-1/2)=S²‹n›-S‹n›S‹n-1›-(1/2)S‹n›+(1/2)S‹n-1›
故得S‹n-1›-S‹n›=2S‹n›S‹n-1›，∴有1/S‹n›-1/S‹n-1›=2，即{1/S‹n›}是个首项为1，公差为2的
等差数列。故1/S‹n›=1+2(n-1)=2n-1，即S‹n›=1/(2n-1)，S‹n+1›=1/[2(n+1)-1]=1/(2n+1)
∴a₁=1，a‹n+1›=S‹n+1›-S‹n›=1/(2n+1)-1/(2n-1)=-2/(4n²-1)（n=1，2，3，........)
或写成a‹n›=S‹n›-S‹n-1›=1/(2n-1)-1/[2(n-1)-1]=-2/(2n-1)(2n-3) (n=2，3，4，......)