Question

9年级数学

如图一，已知RT三角形ABC，角C=90度，AC=9，BC=3，点P在AC上，且AP:PC=2:1，以AC所在的直线作为Y轴，点P为原点建立直角坐标系，AB交X轴于点H，将RT三角形ABC绕点P沿顺时针方向旋转，使A点落在X轴的正半轴上，,B,C三点旋转后的位置分别是D,E,F三点。（1）求DE于Y轴的交点G的坐标及经过三点H,G,D的抛物线的解析式。
（2）在（1）中得抛物线的对称轴上是否存在点M，使三角形HGM为等腰三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）将RT三角形DEF沿Y轴的正半轴向上移动，如图（2）。设OP=m（m大于0小于等于4），RT三角形ABC于RT三角形DEF重叠部分的面积为S，求S关于m的关系式。

Answer 1

解：

(1)根据题意，容易得到：

AP＝6，PC＝3，PD＝PA＝6，PH＝PC＝3

所以H点坐标为H(－2,0)，D点坐标为D(6，0)

因为AP/AC＝HP/BC，

所以6/9＝HP/3

所以HP＝2，GP＝HP＝2，

所以G点坐标为G(0,2) ,

由H、D点在X轴上，可设所求抛物线解析式为：y＝a(x＋2)(x－6)

代入G点坐标，得a＝－1/6

所以y＝－(x＋2)(x－6)/6

即：y＝－x^2/6＋2x/3＋2

(2)抛物线对称轴是直线x＝2，

设M点坐标为M(2，n)，根据两点距离公式得：

HG^2＝8，MH^2＝n^2＋16，MG^2＝(n－2)^2＋4

①当HG＝MH时，得：n^2＋16＝8，无解

②当HG＝MG时，得：(n－2)^2＋4＝8，

解得n＝0或n＝4

当n＝4时，H、G、M在同一直线上，不合题意

所以M点坐标为M(2，0)

③当MG＝MH时，得：n^2＋16＝(n－2)^2＋4

解得n＝－2

所以M点坐标为M(2，－2)

综上所述，符合条件的M点有两个：M1(2，0)和M2(2，－2)

(3)

平移之后，设DF交AB于Q，DE交AB于R，DE交Y轴于S，

因为三角形DEF是向上平移，

所以显然有：PD＝6（图1中的OD），PS＝OG＝2

根据题意，题中的所有直角三角形均相似

且从小到大三边的比＝BC:AC:AB＝1:3:√10

因为OA＝6，OP＝m，

所以PA＝6－m

所以PQ＝PA/3＝(6－m)/3，

所以DQ＝(6－m)/3＋6＝8－m/3

所以RQ＝DQ/√10＝(8－m/3)/√10，RD＝3RQ

所以S＝SΔDRQ－SΔPDS

＝RQ*RD/2－6*2/2

＝RQ^2*3/2－6

＝[(8－m/3)/√10]^2*3/2－6

整理得：

S＝3(8－m/3)^2/20－6

或S＝(m^2－48m＋216)/60

供参考！JSWYC