Question

如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠MAC的平分线交于点D。求证CD平分∠ACN

如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠MAC的平分线交于点D。求证CD平分∠ACN

Answer 1

证明：设点P是△ABC的内心，AC交BD于O，
则 2∠ABP+2∠BAP+2∠ACP=180°
⇒∠ABP+∠BAP+∠ACP=90°
∠ABP+∠BAP=∠APD⇒∠APD+∠ACP=90°
又 AP，AD分别是∠BAC和∠CAM的平分线, ∠BAC+∠CAM=180°，
所以 ∠CAP+∠CAD=90°⇒∠APD+∠ADP=90°⇒∠ADP=∠ACP
又 ∠AOD=∠POC⇒△AOD∽△POC⇒AO/PO=DO/CO⇒△AOP∽△DOC
⇒∠APD=∠DCO⇒∠DCO+∠PCO=90°
因为 ∠ACB+∠ACN=180°，∠BCP=∠PCO，所以 ∠OCD=∠NCD
所以 CD是∠ACN的角平分线。

Answer 2

证明：设点P是△ABC的内心，AC交BD于O，
则 2∠ABP+2∠BAP+2∠ACP=180°
⇒∠ABP+∠BAP+∠ACP=90°
∠ABP+∠BAP=∠APD⇒∠APD+∠ACP=90°
又 AP，AD分别是∠BAC和∠CAM的平分线, ∠BAC+∠CAM=180°，
所以 ∠CAP+∠CAD=90°⇒∠APD+∠ADP=90°⇒∠ADP=∠ACP
又 ∠AOD=∠POC⇒△AOD∽△POC⇒AO/PO=DO/CO⇒△AOP∽△DOC
⇒∠APD=∠DCO⇒∠DCO+∠PCO=90°
因为 ∠ACB+∠ACN=180°，∠BCP=∠PCO，所以 ∠OCD=∠NCD
所以 CD是∠ACN的角平分线。