Question

已知数列{an}满足a1=1/5,且当n>1,n∈N*时,有a(n-1)/an=2a(n-1)+1/1-2an,设bn=1/an，n∈N*，

（1）求证：数列{bn}为等差数列。（2）试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由。
第（2）问中，为什么不能把an的通项公式求出来，再把a1a2带进去，而是要求出bn的通项公式，再用an表示出来呢？

Answer 1

由a(n-1)/an=2a(n-1)+1/1-2an化简可得
a(n-1)=4an*a(n-1)+an
两边同时除以an*a(n-1)可得
1/an=1/a(n-1)+4
1/an-1/a(n-1)=4
即：bn-b(n-1)=4
所以bn是以b1=1/a1=5为首项，4为公差的等差数列

（2）a1=1/5，a2=1/9
1/an=1/a1+（n-1）*4=4n+1
所以an=1/(4n+1)
a1*a2=1/45
假设a1*a2是数列中的第n项
则1/(4n+1)=1/45，n没有正整数解
所以a1a2不是an中的项

注：求an和bn的通项是一样的，没有什么区别，an和bn只是表达不一样了，如果是bn的话直接就是等差数列，而an不能直接是等差数列，但是an的倒数成等差数列，明白了吗