Question

求微分方程 y″-6y′+9y=(e^2x)(x+1) 的通解。

Answer 1

先算齐次方程y″-6y′+9y=0的通解。特征根方程为λ^2-6λ+9=0，得λ1=λ2=3，所以通解为y=(C1+C2x)e^(3x)。

再解y″-6y′+9y=(e^2x)(x+1)的特解y'。利用微分算子D（D=d/dx），有(D^2-6D+9)y'=(e^2x)(x+1)。

y'=[1/(D^2-6D+9)](e^2x)(x+1)=[1/(D-3)^2](e^2x)(x+1)=e^(2x)[1/(D-3+2)^2](x+1)=e^(2x)[1/(D-1)^2](x+1)=e^(2x)(1+2D)(x+1)=(x+3)e^(2x)
所以，微分方程的通解y(x)=y+y'=(C1+C2x)e^(3x)+(x+3)e^(2x)。

Answer 2

先算齐次方程y″-6y′+9y=0的通解。特征根方程为λ^2-6λ+9=0，得λ1=λ2=3，所以通解为y=(C1+C2x)e^(3x)
再解y″-6y′+9y=(e^2x)(x+1)的特解y'。利用微分算子D（D=d/dx），有(D^2-6D+9)y'=(e^2x)(x+1)
y'=[1/(D^2-6D+9)](e^2x)(x+1)=[1/(D-3)^2](e^2x)(x+1)=e^(2x)[1/(D-3+2)^2](x+1)=e^(2x)[1/(D-1)^2](x+1)=e^(2x)(1+2D)(x+1)=(x+3)e^(2x)
所以，微分方程的通解y(x)=y+y'=(C1+C2x)e^(3x)+(x+3)e^(2x)

Answer 3

字写的不好，将就看吧。

Answer 4

y″-6y′+9y=xe^(2x)+e^(2x)
a²-6a+9=0
(a-3)²=0
a=3
Y=(C1+C2x)e^(3x)
y*=x^0(ax+b)e^(2x)+x^0Ce^(2x)
=(ax+b+c)e^(2x)
y*`=ae^(2x)+2(ax+b+c)e^(2x)= (2ax+2b+2c+a)e^(2x)
y*``=2ae^(2x)+2ae^(2x)+4(ax+b+c)e^(2x)=[4a+4ax+4b+4c]e^(2x)
∴[4a+4ax+4b+4c]e^(2x)-6[(2ax+2b+2c+a)e^(2x)]+9(ax+b+c)e^(2x)=xe^(2x)+e^(2x)
4ax-12ax+9ax=x
a=1
∴4+4b+4c-6[(2b+2c+1)]+9(b+c)=1
b+c=3
(2x+7)e^(2x)
∴y=(C1+C2x)e^(3x)+(2x+7)e^(2x)