Question

函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x<0时，f（x）<1

（1）求f（0）
（2）求证：f（x）在R上为增函数;
（3）若f（4）=7，接不等式f（2x+1）<4
快

Answer 1

解:1)令x=y=0,f(0)=2f(0)-1,解得f(0)=1
2)
【分析说明：一般抽象函数采用定义法证明函数单调性，注意到条件x<0,f(x)<1
可以构造x1-x2<0,以及要构造f(x1)-f(x2)，而发现题目中并没有相减，移项即可，即
f（x+y）-f（x）=f（y）-1,留下f(y)-1来判断符号即可】
设x1<x2,则x1-x2<0，f(x1-x2)-1<0; 令x=x2,y=x1-x2,则f(x2+x1-x2)-f(x2)=f(x1-x2)-1<0
即f(x1)<f(x2)
所以为增函数
3)【分析说明：抽象函数不等式的解决一般用到单调性；要找到函数值为4的x的值，找到f(2)=4】
f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1,f(2)=4
f(2x+1)<f(2),∵是增函数∴2x+1<2,解得x<1/2
【注意如果不是定义在R上为增的话，还要注意定义域的取值。】

Answer 2

（1）令x=y=0,即解得f（0）=1
（2）令y=-x，代入得f（0）=f（x）+f（-x）-1，又f（0）=1，故f（x）+f（-x）=2
设y<x,则y-x<0，此时由条件知f（y-x）<1,又f（y-x）=f（y）+f（-x）-1=f（y）+2-f（x）-1<1，故而f（y）<f（x）.所以f（x）在R上为增函数。
（3）f（4）=f(2+2)=2f（2）-1=7,故而f（2）=4.原不等式为f（2x+1）<f（2），由第二问知f（x）在R上为增函数，故而2x+1<2，得x<1/2.
希望我的回答给你帮助！