Question

如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE

⑴求证：CE=CF；
⑵在图1中，若G在AD上，且角GCE=45度，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
⑶运用（1）（2）解答所积累的经验和知识，完成下列各题。
①如图2，在直角梯形ABCD中，AD‖BC（BC＞AD），∠B=90度，AB=BC=12，E是AB的中点，且∠DCE=45度，求DE的长

Answer 1

1）证：∵正方形ABCD
∴∠B=∠FDC
BC=DC
∵DF=BE
∴△
∴CE=CF
（2）成立
证:∵△EBC≌△FDC
∴∠BCE=∠DCF
∵∠GCE=45°
∴∠BCE+∠GCD=45°
∴∠DCF+∠GCD=45°
∵EC=FC,CG=CG
∴△ECG≌△FCG
∴GE＝DF＋GD
∵BE=EF
∴GE＝BE＋GD
（3）解：过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∠A=∠B=90°，
又∠CGA=90°，AB=BC，
∴四边形ABCD为正方形．
∴AG=BC=12．
已知∠DCE=45°，根据（1）（2）可知，ED=BE+DG，
设DE=x，则DG=x-4，
∴AD=16-x．
在Rt△AED中
∵DE2=AD2+AE2，即x2=（16-x）2+82
解得：x=10．
∴DE=10．

Answer 2

1）证：∵正方形ABCD
∴∠B=∠FDC
BC=DC
∵DF=BE
∴△
∴CE=CF
（2）成立
证:∵△EBC≌△FDC
∴∠BCE=∠DCF
∵∠GCE=45°
∴∠BCE+∠GCD=45°
∴∠DCF+∠GCD=45°
∵EC=FC,CG=CG
∴△ECG≌△FCG
∴GE＝DF＋GD
∵BE=EF
∴GE＝BE＋GD
（3）解：过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∠A=∠B=90°，
又∠CGA=90°，AB=BC，
∴四边形ABCD为正方形．
∴AG=BC=12．
已知∠DCE=45°，根据（1）（2）可知，ED=BE+DG，
设DE=x，则DG=x-4，
∴AD=16-x．
在Rt△AED中
∵DE2=AD2+AE2，即x2=（16-x）2+82
解得：x=10．
∴DE=10．

Answer 3

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