Question

四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°

四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°求证：（1）PC⊥BC（此提议证出）
（2）求点A到平面PBD的距离（此题未证出，需帮助）

Answer 1

∵PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1，AB∥CD
∴PC=√2，BC⊥CD,BD=√2,BP=√3
△ PBC中，PC平方加BC平方等于PB平方
∴PC⊥BC
作DE∥CB与AB交于点E
容易计算出，BE=AE=DE=1, 且BCDE为正方形
连接BD，易算出BD=√2,
直角三角形ADE中，易算出AD=√2
三角形ADB中，AD平方加BD平方等于AB平方
∴∠ADB是直角
∴AD⊥BD
∴AD⊥面PBD
∴A到面PBD的距离为AD=√2

Answer 2

这个需要运用等积变换。
三棱锥A-PBD的体积=三棱锥P=ABD的体积
三分之一×点A到平面PBD的距离×三角形PBD的面积=三分之一×PD×三角形ABD的面积
点A到平面PBD的距离×二分之根号下2=1×1
所以点A到平面PBD的距离为：根号下2。

Answer 3

取pb中点为f，连接ef，因为e为pa中点，f为pb中点，所以ef//ab且ef=ab/2=1,又因为ab//cd，cd=1,所以ef平行且等于cd，所以pefc为平行四边形，所以de//fc，又因为fc为平面pbc上的直线，所以de平行平面pbc
三棱锥体积=底*高=pd*s（abc）/3=h*s(pbc)/3=1,又因为s(pbc)=pc*bc/2=√2/2,所以h=√2