Question

如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB与x轴交于点A,与y轴交于点B,且OA=3,AB=5.点P从

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OA=3，AB=5．点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BO-OP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）在点P从O向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t之间的函数关系式（不必写出t的取值范围）；
（3）在点E从B向O运动的过程中，完成下面问题：
①四边形QBED能否成为直角梯形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；
②当DE经过点O时，请你写出t的值（一定要有过程）．

Answer 1

解：（1）在Rt△AOB中，OA=3，AB=5，由勾股定理得OB= AB2-OA2=4．
∴A（3，0），B（0，4）．
设直线AB的解析式为y=kx+b．
∴ {3k+b=0b=4.解得 {k=-43b=4.
∴直线AB的解析式为 y=-43x+4；
（2）如图1，过点Q作QF⊥AO于点F．
∵AQ=OP=t，∴AP=3-t．
由△AQF∽△ABO，得 QF/BO=AQ/AB．
∴ QF/4= t/5．
∴QF= 4/5t，
∴S= 1/2（3-t）• 4/5t，
∴S=- 2/5t2+ 6/5t；

（3）四边形QBED能成为直角梯形．
①如图2，当DE∥QB时，
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．
此时∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABO，得 AQ/AO=AP/AB．
∴ t/3= 3-t/5．
解得t= 9/8；
②如图3，当PQ∥BO时，
∵DE⊥PQ，
∴DE⊥BO，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABO，得 AQ/AB=AP/AO．
即 t/5= 3-t/3．
3t=5（3-t），
3t=15-5t，
8t=15，
解得t= 15/8；

（4）t= 5/2或t= 45/14．

Answer 2

（1）首先由在Rt△AOB中，OA=3，AB=5，，求得OB的值，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）过点Q作QF⊥AO于点F，由△AQF∽△ABO，根据相似三角形的对应边成比例，借助于方程即可求得QF的长，然后即可求得△APQ的面积S与t之间的函数关系式；
（3）①分别从DE∥QB与PQ∥BO去分析，借助于相似三角形的性质，即可求得t的值；
②根据题意可知即OP=OD时，则列方程即可求得t的值．解答：解：（1）在Rt△AOB中，OA=3，AB=5，由勾股定理得OB= =4．
∴A（3，0），B（0，4）．
设直线AB的解析式为y=kx+b．
∴ 解得
∴直线AB的解析式为 ；

（2）如图1，过点Q作QF⊥AO于点F．
∵AQ=OP=t，∴AP=3-t．
由△AQF∽△ABO，得 ．
∴ = ．
∴QF= t，
∴S= （3-t）• t，
∴S=- t2+ t；

（3）四边形QBED能成为直角梯形．
①如图2，当DE∥QB时，
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．
此时∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABO，得 ．
∴ = ．
解得t= ；
②如图3，当PQ∥BO时，
∵DE⊥PQ，
∴DE⊥BO，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABO，得 ．
即 = ．
3t=5（3-t），
3t=15-5t，
8t=15，
解得t= ；

（4）t= 或t= ．

Answer 3

（1）首先由在Rt△AOB中，OA=3，AB=5，，求得OB的值，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）过点Q作QF⊥AO于点F，由△AQF∽△ABO，根据相似三角形的对应边成比例，借助于方程即可求得QF的长，然后即可求得△APQ的面积S与t之间的函数关系式；
（3）①分别从DE∥QB与PQ∥BO去分析，借助于相似三角形的性质，即可求得t的值；
②根据题意可知即OP=OD时，则列方程即可求得t的值．解答：解：（1）在Rt△AOB中，OA=3，AB=5，由勾股定理得OB= =4．
∴A（3，0），B（0，4）．
设直线AB的解析式为y=kx+b．
∴ 解得
∴直线AB的解析式为 ；

（2）如图1，过点Q作QF⊥AO于点F．
∵AQ=OP=t，∴AP=3-t．
由△AQF∽△ABO，得 ．
∴ = ．
∴QF= t，
∴S= （3-t）• t，
∴S=- t2+ t；

（3）四边形QBED能成为直角梯形．
①如图2，当DE∥QB时，
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．
此时∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABO，得 ．
∴ = ．
解得t= ；
②如图3，当PQ∥BO时，
∵DE⊥PQ，
∴DE⊥BO，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABO，得 ．
即 = ．
3t=5（3-t），
3t=15-5t，
8t=15，
解得t= ；

（4）t= 或t= ．

Answer 4

解：（1）在Rt△AOB中，OA=3，AB=5，由勾股定理得OB= AB2-OA2=4．
∴A（3，0），B（0，4）．
设直线AB的解析式为y=kx+b．
∴ {3k+b=0b=4.解得 {k=-43b=4.
∴直线AB的解析式为 y=-43x+4；
（2）如图1，过点Q作QF⊥AO于点F．
∵AQ=OP=t，∴AP=3-t．
由△AQF∽△ABO，得 QF/BO=AQ/AB．
∴ QF/4= t/5．
∴QF= 4/5t，
∴S= 1/2（3-t）• 4/5t，
∴S=- 2/5t2+ 6/5t；

（3）四边形QBED能成为直角梯形．
①如图2，当DE∥QB时，
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．
此时∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABO，得 AQ/AO=AP/AB．
∴ t/3= 3-t/5．
解得t= 9/8；
②如图3，当PQ∥BO时，
∵DE⊥PQ，
∴DE⊥BO，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABO，得 AQ/AB=AP/AO．
即 t/5= 3-t/3．
3t=5（3-t），
3t=15-5t，
8t=15，
解得t= 15/8；

（4）t= 5/2或t= 45/14．

Answer 5

解：（1）在Rt△AOB中，OA=3，AB=5，由勾股定理得OB= =4．
∴A（3，0），B（0，4）．
设直线AB的解析式为y=kx+b．
∴ 解得∴直线AB的解析式为 ；

（2）如图1，过点Q作QF⊥AO于点F．
∵AQ=OP=t，∴AP=3-t．
由△AQF∽△ABO，得 ．
∴ = ．
∴QF= t，
∴S= （3-t）• t，
∴S=- t2+ t；

（3）四边形QBED能成为直角梯形．
①如图2，当DE∥QB时，
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．
此时∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABO，得 ．
∴ = ．
解得t= ；
②如图3，当PQ∥BO时，
∵DE⊥PQ，
∴DE⊥BO，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABO，得 ．
即 = ．
3t=5（3-t），
3t=15-5t，
8t=15，
解得t= ；

（4）t= 或t= ．