Question

将两块全等的含30°角的三角尺如图（1）摆放在一起，它们的较短直角边长为3．

将两块全等的含30°角的三角尺如图（1）摆放在一起，它们的较短直角边长为3．
（1）将△ECD沿直线l向左平移到图（2）的位置，使E点落在AB上，则CC′= ( )；
（2）将△ECD绕点C逆时针旋转到图（3）的位置，使点E落在AB上，则△ECD绕点C旋转的度数=( )；
（3）将△ECD沿直线AC翻折到图（4）的位置，ED′与AB相交于点F，求证AF=FD′．

Answer 1

分析：
（1）根据三角函数求得AC的长，易证△BEC′∽△BAC，根据相似三角形对应边的比相等，即可求得BC′，则可得CC′的长；
（2）根据旋转的定义得到：CE=CB，易证△BCE是等边三角形，则∠BCE可得，则△DCE旋转的度数即可求解；
（3）证明△AEF≌△D′BF即可证得．
解答：
解：（1）在直角△ABC中，AC=BC•tan60°=6 3．
∵△BEC′∽△BAC
∴ BC′BC= C′E′AC即 BC′6= 663
解得：BC′=2 3
∴CC′=BC-BC′=6-2 3；

（2）∵△BCE中，CE=CB，∠EBC=60°
∴△BCE是等边三角形．
∴∠BCE=60°
∴∠ACE=90-60=30°，即△DCE旋转的度数是30度．

（3）∵AC=CD′，CE=CB
∴AE=BD′
又∵∠AFE=∠DFB，∠A=∠ED′C
∴△AEF≌△D′BF
∴BF=EF．

Answer 2

（1）解：CC′=3-根号3 理由如下：∵EC=3，∠A=30°，
∴AC=3，
∴AE=3-3，
∴CC′=EE′=AE×tan30°=3-根号3；
（2）解：△ECD绕点C旋转的度数即∠ECE′的度数；
易得：∠ECE′=∠BAC=30°；（4分）

（3）证明：在△AEF和△D′BF中，
∵AE=AC-EC，D′B=D′C-BC，
又∵AC=D′C，EC=BC，
∴AE=D′B，
又∵∠AEF=∠D′BF=180°-60°=120°，∠A=∠CD′E=30°，
∴△AEF≌△D′BF，
∴AF=FD′．（8分）

Answer 3

第一问是3-√3
（2）解：△ECD绕点C旋转的度数即∠ECE′的度数；
∵∠ABC=60°，BC=CE′=3，AB=6，
∴△E′BC是等边三角形，
∴BC=E′C=E′B=3，
∴AE′=E′C=3，
∴∠E′AC=∠E′CA，
∴∠ECE′=∠BAC=30°；

（3）证明：在△AEF和△D′BF中，
∵AE=AC-EC，D′B=D′C-BC，
又∵AC=D′C，EC=BC，
∴AE=D′B，
又∵∠AEF=∠D′BF=180°-60°=120°，∠A=∠CD′E=30°，
∴△AEF≌△D′BF，
∴AF=FD′．