Question

在三角形ABC中，AB=AC=2∠A=90度，取一块含45度的直角三角板，将45度角的顶点放在斜边BC中点O处顺时针方向

旋转（如图一）使45度角的两边与Rt三角形ABC的两边AB、AC分别交于点E、F（如图二）设BE=X,CF=Y
（1）求y与x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）直角三角形绕O点旋转的过程中，三角形OEF是否能成为等腰三角形？若能，求出三角形OEF为等腰三角形时的所有x值；若不能，请说明理由。
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Answer 1

1）线段AE与CF之间有相等关系．
证明：连接AO．如图2，
∵AB=AC，点O为BC的中点，∠BAC=90°，
∴∠AOC=90°，∠EAO=∠C=45°，AO=OC．
∵∠EOF=90°，∠EOA+∠AOF=90°，∠COF+∠AOF=90°，
∴∠EOA=∠FOC．
∴△EOA≌△FOC，
∴AE=CF．
（2）①连接AO．
如图4，∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠C=∠B=45°，
∴∠BEO+∠EOB=135°，
∵∠EOF=45°，
∴∠FOC+∠EOB=135°，
∴∠FOC=∠BEO，
∴△BEO∽△COF，
∴ ．
在Rt△ABC中，BC= =2 ，点O为BC的中点，
∴BO=OC= ．
∵BE=x，CF=y，
∴ ，即xy=2，
∴ ．
取值范围是：1≤x≤2．
②△OEF能构成等腰三角形．
当F与A重合时，x=1，此时OE=EA（或OE=EF）；
当E与A重合时，此时x=2，OA=OF（或EF=OF）；
当E、F分别在A点的两边时，x= ，OE=OF，△OEF能构成等腰三角形．点评：本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质等知识点．
要注意的是旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．

Answer 2

图