Question

在三角形ABC中，角ABC=40°，角ACB=40°，p为三角形内的一点，且角PCA=20°，角PAB=20°，求角PBC的度数。

Answer 1

解答要点：

方法一：

作P关于BC的对称点D，连接PD、BD、CD、AD

由已知条件容易得出：

∠CAP＝∠CPA＝80°，∠ACP＝∠BCP＝∠BCD＝20°

所以CA＝CP＝CD，∠ACD＝60°

所以△ACD是等边三角形

所以AD＝AC＝AB，∠CAD＝60°

所以∠PAD＝80°－60°＝20°＝∠PAB

因为AP＝AP

所以△PAB≌△PAD（SAS）

所以PB＝PD

而PB＝BD

所以△PBD是等边三角形

所以∠PBD＝60°

所以∠PBC＝∠DBC＝30°

方法二：

作AE⊥BC，交PC于F，连接BF，作PG∥BC交BF的延长线于G

则∠PAE＝30°，∠APG＝60°

由对称性（AE是对称轴），得△APG是等边三角形

所以PG＝PA

而BG＝CP＝AC＝AB，PB＝PB

所以△PAB≌△PGB

所以∠APB＝∠GBP＝10°

所以∠PBC＝30°

 

江苏吴云超解答　供参考！

Answer 2

作P关于BC的对称点D，连接CD、BD、AD
则由∠ACP＝∠BCP＝20°，∠PAB＝20°，
得∠PAC＝80°，从而∠APC＝80°
所以CA＝CP＝CD
由对称知∠BCD＝∠PCB＝20°
所以∠ACD＝60
得等边三角形ACD
所以∠CAD＝∠CDA＝60°，AD＝AC＝AB
所以∠PAD＝20°＝∠PAB
得△PAB≌△PAD
所以∠PBA＝∠PDA
而∠CPD＝70°，得∠APD＝70°＋80°＝150°
所以∠PDA＝180°－150°－20°＝10°
所以∠PAB＝10°
则∠PBC＝40°－10°＝30°

Answer 3

方法一：
作P关于BC的对称点D，连接PD、BD、CD、AD
由已知条件容易得出：
∠CAP＝∠CPA＝80°，∠ACP＝∠BCP＝∠BCD＝20°
所以CA＝CP＝CD，∠ACD＝60°
所以△ACD是等边三角形
所以AD＝AC＝AB，∠CAD＝60°
所以∠PAD＝80°－60°＝20°＝∠PAB
因为AP＝AP
所以△PAB≌△PAD（SAS）
所以PB＝PD
而PB＝BD
所以△PBD是等边三角形
所以∠PBD＝60°
所以∠PBC＝∠DBC＝30°

方法二：
作AE⊥BC，交PC于F，连接BF，作PG∥BC交BF的延长线于G
则∠PAE＝30°，∠APG＝60°
由对称性（AE是对称轴），得△APG是等边三角形
所以PG＝PA
而BG＝CP＝AC＝AB，PB＝PB
所以△PAB≌△PGB
所以∠APB＝∠GBP＝10°
所以∠PBC＝30°

Answer 4

PBC=40*(BC/(AB+BC))