Question

一道高考数学数列题

Answer 1

解：（1） an=2n/(n-1)*a(n-1) + n
两边同时除以n得 an/n = [2*a(n-1)]/(n-1)+1
两边同时加1 得 an/n +1 = [2*a(n-1)]/(n-1)+2
变换得 an/n +1 =2[a(n-1)/(n-1) + 1]
故{an/n +1}可以看成是首相a1/1+1=2,公比是2的等比数列
∴ an/n +1 =(a1/1 +1)*2^(n-1)
即an的通项公式为 an=(2^n-1）*n
而 bn=an/n + λ
=2^n-1+λ
所以得到 an=(2^n-1）*n
bn=2^n-1+λ
(2)由（1）得，an=(2^n-1）*n=n*2^n-n
故可以分为两部分来求解
Sn=a1+a2+……+an
=(1*2-1)+(2*2^2-2)+……+(n*2^n-n)
= （1*2+2*2^2+……+n*2^n）-(1+2+……+n)
令Tn=1*2 +2*2^2+……+n*2^n ①
则2Tn=1*2^2+2*2^3+……+(n-1)*2^n+n*2^(n+1) ②
利用错位相减法
①-②得 -Tn=1*2+2^2+……+2^n-n*2^(n+1)
-Tn=2*(1-2^n)/(1-2) - n*2^(n+1)
Tn=n*2^(n+1)+2-2^(n+1)
=(n-1)*2^(n+1)+2
所以 Sn= Tn - （1+2+……+n）
= (n-1)*2^(n+1)+2 -n(n+1)/2
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