Question

关于高等数学里积分第一中值定理的证明

题目和答案的证明如下图。

但是我在证明的时候用的不是这个方法，我的方法是：

设G(x)为g(x)的原函数，t=G(x)，则x=G^-1(t)。
∫(a→b)f(x)g(x)dx = ∫(a→b)f(x)d（G(x)） = ∫（G(a)→G(b)）f（G^-1(t)）dt
则存在常数ε∈[G(a),G(b)]使t=ε时有
∫（G(a)→G(b)）f（G^-1(t)）dt = f（G^-1(ε)）*（G(b)-G(a)）
即 ∫(a→b)f(x)g(x)dx = f（G^-1(ε)）*∫(a→b)g(x)dx
∴存在当x=G^-1(ε)时原式成立。

但“g 在[a, b]上不变号”这个条件我根本没有用到...如果我的方法是对的，岂不是积分第一中值定理的适用范围就扩展了？
我没找出自己有哪里不对，也不知道是不是我已经在某一步用过这个条件了而我没意识到。
所以希望能有高人来帮我看下，我的方法是否正确？如果不正确，错在哪里？
一楼，你复制另一个知道问题的答案给我有意思伐？我解法跟那人根本不一样，你懂高数吗？不懂别瞎参合！

Answer 1

错误其实很简单，就是你在第二行变量替换的时候， 你得保证G(x)是单值函数。所以你直接写那么个区间是有问题的。或者说 你默认了G（x）是单值函数
比如∫(-1→1)x^2 *f（x）dx，在这里g(x)=x^2 你要是直接把x^2弄成t 那积分区间就变成 (1→1) 自然就出错了。
所以如果你假定G(x)是个单值函数 不考虑间断点情况下，因为它单调 那么反函数自然存在，你可以接着往下讨论

追问

恩，对的，一针见血。
但是我按照这个方法讨论如下：
①当g(x)在[a,b]内单调时...用我刚刚的方法证明；
②当g(x)在[a,b]内不单调，取[a',b']∈[a,b]满足g(x)在[a',b']内单调，同样方法证明。
这样的话，“g 在[a, b]上不变号”这个条件我还是没有用到呢？...是不是说明这个定理并不需要这个范围呢？

追答

第四行你推 ∫（G(a)→G(b)）f（G^-1(t)）dt = f（G^-1(ε)）*（G(b)-G(a)）
用到的其实就是你图片那个m M的不等式推出来的。

那个不等式利用的是 m=f（x）g（x）>=M2g（x） 因。m1 M1 m2 M2分别是在g（x）取正或负的那一段定义区间的对应的f（x）的最大最小值 正负交替的话甚至还有m3 M3 等等
所以在g（x）不同的正负区间f（x）g（x）的最大值和最小值是不一样的。 这样你就不能确定f（x）g（x）的最大值和最小值。 除非你分成很多段讨论。 这也就是为什么g（x）要固定在个正区间或者负区间的条件规定。
所以那个不等式最后的成立是有问题的。导致你第四行推不出来。
而你在证明中推出第四行其实你是不知不觉用到了g 在[a, b]上不变号的条件

Answer 2

抱歉，刚才回答你问题的时候，有些话没说清楚，g的反函数和G的反函数有点混乱了，更正一下：
"t=G(x)，则x=G^-1(t)”
这里反函数G^-1(t)的存在性是有问题的，一般的一个函数f,它在[a,b]上有反函数是要加更多的条件才可以的，比如说f单调。显然这里积分中值定理的条件不能满足G^-1(t)的存在性。
假如函数g 在[a, b]上变号的话，那么此时t=G(x)的反函数G^-1(t)是一定不存在的！
但是，如果加上条件“g 在[a, b]上不变号”，那么g的原函数G就是单调的，此时G^-1(t)就在[a,b]上存在了。

追问

恩，我赞成你和三楼指出的，问题是出在反函数上面了，不过我不太理解你说的最后一句，g 在[a, b]上不变号并不能推出g的原函数G就是单调的吧？比如2+sinx就是个不变号但是不单调的函数呢？
你和三楼都很牛~ 我也不知道该给谁最佳答案...所以决定给你们提高悬赏再追问一下再决定..^-^#

追答

如果被积函数不变号的话，随着积分上限x的增大，积分是会不断增大或者不断减小的。具体地，如果函数恒正，积分就是增大的；如果恒负，积分就是减小的。这个分析的单调性是积分上限函数，与原函数的单调性无关。