Question

已知△ABC为等边三角形,在图a中,点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交

已知△ABC为等边三角形,在图a中,点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点
（1）图a中，∠BQM为多少度？
（2）若M,N两点分别在线段BC,CA的延长线上其他条件不变，如图b，（1）中的结论是否成立？如果成立，请加以证明，如果不成立，请说明理由,

Answer 1

（1）解：因为BM=CN，且三角形ABC为等边三角形
所以BC-BM=AC-CN
所以CM=AN
所以M,N分别为BC,AC的中点
所以AM垂直于BC,BN垂直于AC
所以角BMA为90度
又因为BN交AM于Q
所以三角形BQM为等腰直角三角形
所以角BQM为45度

Answer 2

(1) ∠BQM为60°。理由如下：
因为BM=CN，AB=BC，∠ABC=∠C
所以△ABM≡△BCN
所以∠NBC=∠BAM
所以∠BQM=180°-∠NBC-∠AMB=180°-∠BAM-∠AMB=∠ABM=60°
(2)成立，继续证全等
∴∠QBA=∠CAM
∵ ∠BAC+∠CAM=∠QBA+∠BQM
∴∠BAC=∠BQM=60°

Answer 3

1、解：∠BOM=60°，
证明：在△ABM和△BCN中，
{AB=BC∠ABM=∠BCN=60°BM=CN，
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠AON=∠ABN+∠BAM，∠ABN+∠CBN=60°，
∴∠AON=∠ABC=60°．
∴∠BOM=∠AON=60°．
2、成立，继续证全等
∴∠QBA=∠CAM
∵ ∠BAC+∠CAM=∠QBA+∠BQM
∴∠BAC=∠BQM=60°

Answer 4

(1)∠BQM=60度.
证明:BM=CN;BA=CB;∠ABM=∠BCN=60度.则⊿ABM≌ΔBCN(SAS),∠BAM=∠CBN;
所以,∠BQM=∠ABQ+∠BAM=∠ABQ+∠CBN=60度.
(2)结论成立.
证明:BM=CN;BA=CB;∠ABM=∠BCN=60度.则⊿ABM≌ΔBCN(SAS),∠N=∠M;
所以,∠BQM=∠N+∠QAN=∠M+∠CAM=∠ACB=60度.

Answer 5

（1）
∵BM=CN，AB=BC，∠ABC=∠C
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠AON=∠ABN+∠BAM，∠ABN+∠CBN=60°，
∴∠AON=∠ABC=60°．
∴∠BOM=∠AON=60°．
2、
成立，继续证全等

∴∠QBA=∠CAM
∵ ∠BAC+∠CAM=∠QBA+∠BQM
∴∠BAC=∠BQM=60°

Answer 6

上面的回答是错误的，这个是正确的（①②③均表示全等的三个条件）
（1）∠BQM=60°
∵等边三角形∴①AB=BC=AC,②∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°
又∵BM=CN∴BC-BM=AC-CN∴③CM=AN
∴△ABM≌△BCN（SAS）
∴∠NBC=∠MAB
又∵∠ABC=60°=∠NBC+∠ABN
∴∠MAB+∠ABN=60°
∴∠AQN=60°（外角等于两个不相邻内角之和)
∴∠BQM=∠AQN=60°
（2）成立
∵等边三角形∴①AB=BC=AC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°∴②∠ACM=∠NAB=120°
又∵BM=CN∴BM-BC=CN-AC∴③CM=AN
∴△NAB≌△MCA
∴∠BAN=∠AMC
又∵∠CAM+∠AMC=∠ACB=60°（外角等于两个不相邻内角之和)
∴∠NAQ+∠BNA=∠CAM+∠AMC=60°
∴∠BQM=∠NAQ+∠BNA=60°（外角等于两个不相邻内角之和)