在三角形ABC中，AD垂直于BC于点D，角B=2倍的角C，求证 AB+BD=DC
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证明：在线段BC上取点E，使得BD=DE，连结AE
因为AD⊥BC，所以△ABE是等腰三角形
则AB=AE (1)
且∠B=∠AEB
又∠AEB=∠C+∠CAE，∠B＝2∠C
则∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C
所以∠CAE=∠C
则AE=EC
所以AB=EC (2)
由(1)(2)两式可得：AB=EC
又BD=DE
所以AB+BD=DE+EC
即AB+BD=DC
因为AD⊥BC，所以△ABE是等腰三角形
则AB=AE (1)
且∠B=∠AEB
又∠AEB=∠C+∠CAE，∠B＝2∠C
则∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C
所以∠CAE=∠C
则AE=EC
所以AB=EC (2)
由(1)(2)两式可得：AB=EC
又BD=DE
所以AB+BD=DE+EC
即AB+BD=DC
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