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高中函数题[求解]
已知二次函数f(x)=ax²+bx,f(x+1)为偶函数,函数f(x)的图像与直线y=x相切,(1)求f(x)的解析式(2)若常数k≥2/3,,存在区间[m,n...
已知二次函数f(x)=ax²+bx,f(x+1)为偶函数,函数f(x)的图像与直线y=x相切,
(1) 求f(x)的解析式
(2)若常数k≥2/3, ,存在区间[m,n](m<n),使得f(x)在区间[m,n]上的值域恰好为[km,kn],求出区间[m,n] 展开
(1) 求f(x)的解析式
(2)若常数k≥2/3, ,存在区间[m,n](m<n),使得f(x)在区间[m,n]上的值域恰好为[km,kn],求出区间[m,n] 展开
4个回答
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1、f(x+1)=ax²+(2a+b)x+a为偶函数,f(-x)=f(x)。故,2a+b=0;函数f(x)的图像与直线y=x相切,即
ax²+bx=x有且仅有一解。可得b=1,a=-1/2;f(x)=-1/2x²+x。
2、若常数k≥2/3,存在区间[m,n](m<n),使得f(x)在区间[m,n]上的值域恰好为[km,kn];
这问其实就是问y=kx与f(x)相交的问题。f(x)的图像已知,可以画个草图:(1)直线与函数有且仅有一个交点(即(0,0)),我们用直线x=m,x=n去截取;我们就会发现截得两组线在y轴上的投影(截得的线对应的函数值)是不重合的,不满足条件“使得f(x)在区间[m,n]上的值域恰好为[km,kn]”。
(2)、直线与函数有两个交点,显然其中一个交点就为(0,0)。同样的,用两直线截取,我们就会发现:当直线与函数的另一个交点位于直线x=1(二次函数函数的对称轴)的右侧时,是不满足条件的(投影不重合)。这样就得出,另一交点在直线x=1的左侧。又k≥2/3,则另一交点在直线x=2/3的左侧。(1)另一点在y轴(x=0)的右侧,则满足条件的区间为[0,n],其中n满足条件,{n|0<n<=2/3}。(2)另一点在y轴(x=0)的左侧,则满足条件的区间为[m,0],其中m满足条件{m|m<0}。
这叙述比较多,当然书写时,可直接得出结论不用作过多分析就可。
ax²+bx=x有且仅有一解。可得b=1,a=-1/2;f(x)=-1/2x²+x。
2、若常数k≥2/3,存在区间[m,n](m<n),使得f(x)在区间[m,n]上的值域恰好为[km,kn];
这问其实就是问y=kx与f(x)相交的问题。f(x)的图像已知,可以画个草图:(1)直线与函数有且仅有一个交点(即(0,0)),我们用直线x=m,x=n去截取;我们就会发现截得两组线在y轴上的投影(截得的线对应的函数值)是不重合的,不满足条件“使得f(x)在区间[m,n]上的值域恰好为[km,kn]”。
(2)、直线与函数有两个交点,显然其中一个交点就为(0,0)。同样的,用两直线截取,我们就会发现:当直线与函数的另一个交点位于直线x=1(二次函数函数的对称轴)的右侧时,是不满足条件的(投影不重合)。这样就得出,另一交点在直线x=1的左侧。又k≥2/3,则另一交点在直线x=2/3的左侧。(1)另一点在y轴(x=0)的右侧,则满足条件的区间为[0,n],其中n满足条件,{n|0<n<=2/3}。(2)另一点在y轴(x=0)的左侧,则满足条件的区间为[m,0],其中m满足条件{m|m<0}。
这叙述比较多,当然书写时,可直接得出结论不用作过多分析就可。
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(1) f(x+1)=ax²+2ax+a+bx 为偶函数 =>2a+b=0
函数f(x)的图像与直线y=x相切 =>x=ax²+bx只有一个解
=>b=1
=>a=-1/2
=>f(x)=-x²/2+x
函数f(x)的图像与直线y=x相切 =>x=ax²+bx只有一个解
=>b=1
=>a=-1/2
=>f(x)=-x²/2+x
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2011-10-07
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1、f(x+1)=ax²+(2a+b)x+a为偶函数,f(-x)=f(x)。故,2a+b=0;函数f(x)的图像与直线y=x相切,即
ax²+bx=x有且仅有一解。可得b=1,a=-1/2;f(x)=-1/2x²+x。
2、若常数k≥2/3,存在区间[m,n](m<n),使得f(x)在区间[m,n]上的值域恰好为[km,kn];
这问其实就是问y=kx与f(x)相交的问题。f(x)的图像已知,可以画个草图:(1)直线与函数有且仅有一个交点(即(0,0)),我们用直线x=m,x=n去截取;我们就会发现截得两组线在y轴上的投影(截得的线对应的函数值)是不重合的,不满足条件“使得f(x)在区间[m,n]上的值域恰好为[km,kn]”。
ax²+bx=x有且仅有一解。可得b=1,a=-1/2;f(x)=-1/2x²+x。
2、若常数k≥2/3,存在区间[m,n](m<n),使得f(x)在区间[m,n]上的值域恰好为[km,kn];
这问其实就是问y=kx与f(x)相交的问题。f(x)的图像已知,可以画个草图:(1)直线与函数有且仅有一个交点(即(0,0)),我们用直线x=m,x=n去截取;我们就会发现截得两组线在y轴上的投影(截得的线对应的函数值)是不重合的,不满足条件“使得f(x)在区间[m,n]上的值域恰好为[km,kn]”。
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直线与函数有两个交点,显然其中一个交点就为(0,0)。同样的,用两直线截取,我们就会发现:当直线与函数的另一个交点位于直线x=1(二次函数函数的对称轴)的右侧时,是不满足条件的(投影不重合)。这样就得出,另一交点在直线x=1的左侧。又k≥2/3,则另一交点在直线x=2/3的左侧。(1)另一点在y轴(x=0)的右侧,则满足条件的区间为[0,n],其中n满足条件,{n|0<n<=2/3}。(2)另一点在y轴(x=0)的左侧,则满足条件的区间为[m,0],其中m满足条件{m|m<0}。
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