Question

如图，BP是△ABC的外角平分线，点P在∠BAC的平分线上求证：CP是△ABC的外交平分线

Answer 1

利用角平分线性质作垂线得到线段相等，再利用角平分线的逆定理得到所证结果．证明：过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF，
∵BP是△ABC的外角平分线，PD⊥AD，PF⊥BC，
∴PD=PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵点P在∠BAC的角平分线上，PD⊥AD，PE⊥AE，
∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴PF=PE，PF⊥BC，PE⊥AE，
∴CP是△ABC的外角平分线（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）．点评：本题考查角平分线性质，并利用全等三角形从而证得．

Answer 2

连接AP.过P点作直线PM垂直AB交AB于M,PN垂直AC交AC于N,PE垂直BC交BC于E,
bp是△abc的外角平分线、点p在∠bac的角平分线上.PM=PE,PM=PN,PE=PN,
PN=PN,∠PEN=∠PMN=90°,△PCE与△PCN全等，∠PCE=∠PCN,cp是△abc的外角平分线。

Answer 3

证明：过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF，
∵BP是△ABC的外角平分线，PD⊥AD，PF⊥BC，
∴PD=PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵点P在∠BAC的角平分线上，PD⊥AD，PE⊥AE，
∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴PF=PE，PF⊥BC，PE⊥AE，
∴CP是△ABC的外角平分线（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）．

Answer 4

过P点作P到AB、BC、AC的垂线段PD、PF、PE
∵P在∠BAC的平分线上
∴PD=PE（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）
∵BP是△ABC的外角平分线
∴∠DBP=∠EBP
在△BDP与△PEB中：
{∠DBP=∠EBP（已证）
{∠PDB=∠PFB（直角）
{ PB=PB（公共边）
∴△BDP≌△PEB（AAS）
∴PE=PD（全等三角形，对应边相等）
∵PD=PF
∴PF=PE（等量代换）
在RT△PEC与RT△PFC中：
{ PC=PC （公共边）
{ PF=PE （已证）
∴RT△PEC≌RT△PFC
∴∠PCE=∠PCF （全等三角形，对应边相等）
∴CP是△ABC的外角平分线
我想这种方法对于大家来说更容易接受，如有疑问或不解可以指出。

Answer 5

连接AP.过P点作直线PM垂直AB交AB于M,PN垂直AC交AC于N,PE垂直BC交BC于E,
∵BP平分∠MBC，PM⊥AB,PE⊥BC
∴PM=PE
∵点P在∠BAC的平分线上，PM⊥AB，PN⊥AC
∴PM=PN
∴PE=PN
∵PE⊥BC，PN⊥AC
∴点P在∠BCN的平分线上
∴CP是△ABC的外交平分线