Question

1×2+2×3+3×4+...+10×11 1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1） 1×2×3+2×3×4+3×4×5...+7×8×9

Answer 1

1×2+2×3+3×4+...+10×11 =1/3*10*11*12=440
设n为奇数,
1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=
=(1*2+2*3)+(3*4+4*5)+...+n(n+1)
=2(2^2+4^2+6^2+...(n-1)^2)+n(n+1)
=8(1^2+2^2+3^2+...+[(n-1)/2]^2)+n(n+1)
=8*[(n-1)/2][(n+1)/2]n/6+n(n+1)
=n(n+1)(n+2)/3
设n为偶数,
请你自己证明一下！
所以，
1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

1*2*3+2*3*4+3*4*5+...+7*8*9
=1/4*1*2*3*4+1/4*[2*3*4*5-1*2*3*4]+...+1/4*[7*8*9*10-6*7*8*9]
=1/4[1*2*3*4+2*3*4*5-1*2*3*4+...+7*8*9*10-6*7*8*9]
=1/4*7*8*9*10
=1260

追问

第二题能讲清楚些？第三题为什么用1/4？谢谢

追答

你可以观察下的每项都是（n+1）^3-n,你可以一次试试的！
1*2*3+2*3*4+3*4*5+···+7*8*9
= (2³ - 2) + (3³ - 3) + …… + (8³ - 8)
= 1³ + 2³ + 3³ + …… + 8³ - (1+2+3+……+8)
套用连续立方和公式、等差数列求和公式
= [8 * (8+ 1)/2]^2 - (1+8) * 8 / 2
=1296 - 36
= 1260

Answer 2

设an=n×（n+1）=n^2+n
Sn=1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1）
=(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+(1+2+3+……+n)
=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2
=n(n+1)(n+2)/3

S10=1×2+2×3+3×4+...+10×11
=10×11×12/3
=440

设Bn=n(n+1)(n+2)=n^3+3n^2+2，其前n项和
Tn＝[n(n+1)]^2/4+3n(n+1)(2n+1)/6+2n(n+1)/2
=[n(n+1)]^2/4+n(n+1)(2n+1)/2+n(n+1)
1×2×3+2×3×4+3×4×5...+7×8×9=T7=1260

Answer 3

ps： 因为电脑三分之一打不出来 所以写成汉字 你按照平常老师教你写分数的格式写就行了。
1×2+2×3+3×4+...+10×11
解：原式 = 3分之1 × 10 × 11 × 12
= 440

1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1） = 3分之1n × （n+1）（n+2）

1×2×3+2×3×4+3×4×5...+7×8×9
= 四分之一 * 7 * 8 * 9 * 10

可以不写解原式。 多谢采纳