Question

已知函数f(x)定义域为R且x≠0，对定义域内的任意X1，X2，都有f(x1x2)=f(x1)=f(x2)…

已知函数f(x)定义域为R，且x≠0，对定义域内的任意X1，X2，都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x＞1时，f(x)＞0，f(2)=1.
求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数。

Answer 1

（2）证明：设x2＞x1＞0，则
f（x2）-f（x1）=f（x1•x2x1 ）-f（x1）
=f（x1）+f（x2x1）-f（x1）=f（ x2x1）．
∵x2＞x1＞0，∴x2x1＞1．
∴f（ x2x1）＞0，即f（x2）-f（x1）＞0．
∴f（x2）＞f（x1）．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．

Answer 2

假设x1 > x2 >0
则：f(x2 * x1/x2) = f(x2) + f(x1/x2) = f(x1)
所以f(x1) - f(x2) =f(x1/x2)
而x1>x2>0
所以：x1/x2 > 1;
所以f(x1/x2) > 0
所以f(x1) -f(x2) > 0
单增。