Question

已知函数f(x)=x^2 ax 2ln(x-1),a是常数。

（1）证明曲线y=f（x）在点（2，f（x））的切线经过y轴上一个定点；
（2）若f'（x）＞（a-3）x^2对任意x∈（2，3）恒成立，求a的取值范围；（参考公式：3x^3-x^2-2x+2=（x+1）（3x^2-4x+2））
（3）讨论函数f（x）的单调区间.
求详细做法 我做到第二问就不会了 第一问我会 今天这题跟他们发生分歧了。。。。。。。具体的步骤 本人比较笨。。。。谢谢 谢谢大神们的解答
我半夜也会起来看看有没有人回答的。。。。请能答的就答上吧。。。。
再次谢谢了

Answer 1

（1）f(2)=2²+2a+2ln1=4+2a
又 f＇(x)=2x+a+2/(x-1)
过（2，4+2a）切线斜率k=f＇(2)=6+a
曲线y=f（x）在点（2，4+2a）的切线为y=kx+b=（6+a）x+b
带入点（2，4+2a）求出b。 ∴ y=（6+a）x-8
切线经过y轴上一个定点（0，-8）
∴y=f（x）在点（2，f（x））的切线经过y轴上一个定点（0，-8）

（2）f'（x）＞（a-3）x^2
即2x+a+2/(x-1)＞（a-3）x^2
即（3-a)x²+2x+2/(x-1)+a＞0
即((3-a)x²(x-1)+2x(x-1)+2+a(x-1)) /(x-1)＞0
即(3x³-x²-2x+2+a(-x³+x²+x-1)) /(x-1)＞0
即(（x+1）(3x^2-4x+2）+a(x+1)(-x²+2x-1))／（x-1）＞0
即（x+1）（(3-a)x²+(2a-4)x+2-a）／(x-1)＞0
可化为（x+1）（(3-a)x²+(2a-4)x+2-a）(x-1)＞0
∵x∈（2，3）时
x+1＞0,x-1＞0
∴此时(3-a)x²+(2a-4)x+2-a＞0
然后就是解二次函数的问题了

（3）f（x）=x^2+ax+2ln（x-1） （x-1＞0）
f＇(x)=2x+a+2/(x-1)=（2x²+(a-2)x+2-a）／（x-1）
①f＇(x)＞0
即（2x²+(a-2)x+2-a）／（x-1）＞0
可化为（2x²+(a-2)x+2-a）（x-1）＞0
即2x²+(a-2)x+2-a＞0
然后二次函数求解
②f＇(x)＜0
与①同理

不得不说，出这题就是考验学生耐力的。。。=皿=，方法大致就是上面那样了。后面的解二次函数记得分情况讨论范围，麻烦。。

Answer 2

题目写清楚点，用括号括

追问

已知函数f（x）=x^2+ax+2ln（x-1），a是常数。