Question

已知函数f（x）=ln（12+ax2）+x2-ax（a为常数，a＞0）．（1）若x=12是函数f（x）的一个极值点，求a的值；

已知函数f（x）=ln（12+ax2）+x2-ax（a为常数，a＞0）．（1）若x=12是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）求证：当0＜a≤2时，f（x）在[12，+∞）上是增函数；（3）若对任意的a∈（1，2）总存在x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞m（1-a2）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

f′（x）=

1 2 a

1 2 + 1 2 ax

+2x-a=

2ax(x? a2?2 2a )

1+ax

（1）由已知，得 f′（

1

2

）=0且

a2?2

2a

≠0，∴a²-a-2=0，
∵a＞0，∴a=2；
（2）当0＜a≤2时，
∵

a2?2

2a

-

1

2

=

(a?2)(a+1)

2a

≤0，∴

1

2

≥

a2?2

2a

，
∴当x≥

1

2

时，x-

a2?2

2a

≥0，又

2ax

1+ax

＞0，∴f′（x）≥0，
故f（x）在[

1

2

，+∞）上是增函数；
（3）a∈（1，2）时，由（2）知，f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=ln（

1

2

+

1

2

a）+1-a，
于是问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式ln（

1

2

+

1

2

a）+1-a+m（a²-1）＞0恒成立，
记g（a）=ln（

1

2

+

1

2

a）+1-a+m（a²-1），（1＜a＜2）
则g′（a）=

1

1+a

-1+2ma=

a

1+a

[2ma-（1-2m）]，
当m≤0时，2ma-1+2m＜0，∴g’（a）＜0，
∴g（a）在区间（1，2）上递减，
此时，g（a）＜g（1）=0，∴m≤0时不可能使g（a）＞0恒成立，故必有m＞0，
∴g′（a）=

2ma

1+a

[a-（

1

2m

-1）]．
若

1

2m

-1＞1，可知g（a）在区间（1，min{2，

1

2m

-1}）上递减，
在此区间上，有g（a）＜g（1）=0，与g（a）＞0恒成立矛盾，
故

1

2m

-1≤1，这时，g′（a）＞0，g（a）在（1，2）上递增，
恒有g（a）＞g（1）=0，满足题设要求，
∴

m＞0 1 2m ?1≤1

，即m≥

1

4

，
∴实数m的取值范围为[

1

4

，+∞）．