Question

已知函数f(x)=4x-2/x+1（x≠1，x∈R） 数列{an}满足a1=a（a≠-1，a∈R），a （n+1）=f（an）（n∈N*）

（2）当a1=4时，记bn=an-2/an-1（n∈N*），证明数列{bn}是等比数列，并求出通项公式an

Answer 1

1. n=1时 a1=4
2. n>1时
a(n+1)=f(an)=(4an-2)/(an+1)
a(n+1)-2=(4an-2)/(an+1)-2=(4an-2-2an-2)/(an+1)=2(an-2)/(an+1)
a(n+1)-1=(4an-2)/(an+1)-1=(4an-2-an-1)/(an+1)=3(an-1)/(an+1)
两式相除 [a(n+1)-2]/[a(n+1)-1]=(2/3)[(an-2)/(an-1)]
记bn=(an-2)/(an-1) 则b(n+1)= [a(n+1)-2]/[a(n+1)-1]
所以b(n+1)=(2/3)bn
故{bn}是公比为2/3的等比数列
首项b1=(a1-2)/(a1-1)=(4-2)/(4-1)=2/3
所以bn=(2/3)*(2/3)^(n-1)=(2/3)^n
即(an-2)/(an-1)=(2/3)^n
解得an=(2*3^n-2^n)/(3^n-2^n)

Answer 2

解：首先建立一个方程 x=(4x-2)/(x+1)
解得 x1=1 x2=2
因为 a(n+1)=(4an-2)/(an+1)
所以 a(n+1)-1=(4an-2)/(an+1)-1
a(n+1)-2=(4an-2)/(an+1)-2
即 a(n+1)-1=3(an-1)/(an+1)----(1)
a(n+1)-2=2(an-2)/(an+1)----(2)
(1)/(2)得：[a(n+1)-1]/[a(n+1)-2]=3/2*(an-1)/(an-2)
令bn=(an-1)/(an-2) 则b1=(a0-1)/(a0-2)
b(n+1)=3/2bn 所以{bn}是公比为q=3/2的等比数列
bn=(3/2)^(n-1)*(a0-1)/(a0-2)
又因为bn=(an-1)/(an-2) 所以an=1/(bn-1)+2
代入得 an=1/[(3/2)^(n-1)*(a0-1)/(a0-2)-1]+2