Question

已知函数f(x)对任意实数x,y总有f(x+y)=f(x)+f(y)

1求证f(x)是奇函数
2若f(-3)=a 试用a表示f(24)
3如果x>0时，f(x)>0 且f(1)=1/2 试求f(x)在区间[-2,6]的最大值和最小值

Answer 1

1、f(x+y)=f(x)+f(y)
f(x)=f(x+0)=f(x)+f(0) 得：f(0)=0
f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0 即：f(x)=-f(x)
所以f(x)是奇函数
2、
f(24)=f(21)+f(3)
f(21)=f(18)+f(3)
由此可得：f(24)=8f(3)=-8f(-3)=-8a

3、f(x)>0 且f(1)=1/2
f(2)=f(1)+f(1)=2f(1)>f(1)
可知在：(0,6]上是增函数，所x=6是有最大值，f(6)=6f(1)=3
根据奇函数的特点可知在：[-2,0)上也是增函数，
所以x=-2时，有最小值为f(-2)=-f(2)=-2f(1)=-1