Question

（悬赏可提高）已知y^2=4x,过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A,B两点，且直线l与x轴交于点C

（1 ）求证|MA|,|MC|、|MB|成等比数列。
（2 ）设向量MA=α向量AC,向量MB=β向量BC，试问α+β是否为定值，若是，求出此定值;若不是，请说明理由。

主要是第二问

Answer 1

(1)|MC|^2=|MA|*|MB| 这个你先用相似形说明下 => xc/xb=xa/xc A(xa,ya) B(xb,yb)
紧接着设出 直线方程 y=k(x-xc) 这样设的话 你得说明斜率不存在的情况不能交与AB即可
联立y^2=4x => k/4y^2-y-kxc=0 ya*yb=-kxc/(k/4)=-4xc ya^2=4xa yb^2=4yb
(yayb)^2=16xc^2=16xa*xb =>xc^2=xa*xb 得证
(2)向量MA=α向量AC,向量MB=β向量BC MB向量=MC向量+CB向量 注意向量是矢量
α+β=向量MA/向量AC+(MC向量+CB向量)/向量BC =-1+向量MA/向量AC+向量MC/向量BC
因为 |MC|^2=|MA|*|MB| (已证明结论) MC/MA-1=MB/MC-1 => AC/MA=BC/MC
上式=-1+MA/AC-MC/BC=-1