Question

已知函数f(x)对一切x,y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y),求证:f(x)是奇函数

Answer 1

令x=y=0
得f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=0
令y=-x
得f(0)=f(x)+f(-x)
f(x)=-f(-x)
f(x)是奇函数

Answer 2

令x=y=0
根据f(x+y)=f(x)+f(y),
f(0+0) = f(0) + f(0)
∴f(0)=0

令y=-x
根据f(x+y)=f(x)+f(y),
f(x-x) = f(x) + f(-x)
即 f(x) + f(-x) = f(0) = 0
∴ f(-x) = -f(x)

∴奇函数

Answer 3

f(x+y)=f(x)+f(y),可得到f（x+x）=f(x)+f(x)则f(2x)=2f(x)
f(x)=f(2x-x)=f(2x)+f(-x）=2f(x)+f(-x)
得f(x)=-f(-x)
则f（x）为奇函数