Question

已知a是给定的正实数，若满足丨x-a丨<b的一切实数x。不等式丨x^2-a^2丨<1/2都成立，求b的取值范围

需要详细的解答过程，谢谢

Answer 1

首先|x-a|<b中，b≥0，否则该不等式是空集
解不等式|x-a|<b 得 -b<x-a<b 即a-b<x<a+b
不等式|x²-a²|<1/2解得a²-1/2<x<a²+1/2
那题意就是，任意a-b<x<a+b 不等式a²-1/2<x<a²+1/2都成立
根据小范围推出大范围的原则
有a-b<x<a+b全部落在a²-1/2<x<a²+1/2内
所以a-b≥a²-1/2且a+b≤a²+1/2
b≤-a²+a+1/2且b≤a²-a+1/2
取交集时，应该考虑-a²+a+1/2和a²-a+1/2的大小关系
当-a²+a+1/2=a²-a+1/2，即a=1时，0≤b≤1/2
当-a²+a+1/2>a²-a+1/2≥0，即0<a<1时，0≤b≤a²-a+1/2
当0≤-a²+a+1/2≤a²-a+1/2，即1<a≤(1+√3)/2时，0≤b≤-a²+a+1/2
当-a²+a+1/2<0，即a>(1+√3)/2时，b∈φ