Question

求证:函数f(x)=x+x分之a²;(a>0),在区间(0,a]是减函数

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Answer 1

设在区间(0, a]内存在x1<x2
因为0<x1<a 0<x2<a
则x1*x2<a²
即a²/(x1*x2)>1
f(x2)-f(x1)=x2+a²/x2-(x1+a²/x1)
=(x2-x1)+a²(1/x2-1/x1)
=(x2-x1)[1-a²/(x2*x1)]
因x2-x1>0 1-a²/(x1*x2)<0
所以f(x2)-f(x1)<0
即f(x2)<f(x1)
故f(x)是减函数

Answer 2

设x1<x2且都属于(0,a]，那么0<x1，x2<a^2,a^2-x1x2>0
所以：f(x1)-f(x2)=x1+a^2/x1-x2-a^2/x2
=x1-x2+a^2(1/x1-1/x2)
=x1-x2+a^2(x2-x1)/x1x2
=(x2-x1)(a^2-x1x2)/x1x2
>0
那么，在(0,a]， x1<x2情况下，f(x1)>f(x2)
所以：函数f(x)=x+a²/x(a>0),在区间(0,a]上是减函数

Answer 3

解：f'(x)=1- a²/x²=(x²- a²)/x²
=(x+a)(x-a) /x²
当x在区间(0,a]上时，
导函数f'(x)<0恒成立
所以函数f(x)在区间(0,a]是减函数。