Question

求证:函数f(x)=x+a²/x(a>0),在区间(0,a]上是减函数

Answer 1

设x1<x2且都属于(0,a]，那么0<x1x2<a^2,a^2-x1x2>0
所以：f(x1)-f(x2)=x1+a^2/x1-x2-a^2/x2
=x1-x2+a^2(1/x1-1/x2)
=x1-x2+a^2(x2-x1)/x1x2
=(x2-x1)(a^2-x1x2)/x1x2
>0
那么，在(0,a]， x1<x2情况下，f(x1)>f(x2)
所以：函数f(x)=x+a²/x(a>0),在区间(0,a]上是减函数

Answer 2

因为a²/x且a>0所以f(x)=a²/x在(0,a]是减函数
又因为f(x)=x在区间(0,a]上是增函数
所以根据复合函数单调性性质（同增异减）判断得
函数f(x)=x+a²/x(a>0),在区间(0,a]上是减函数