Question

已知函数f﹙x﹚＝x²－2ax＋5﹙a＞1﹚,若f﹙x﹚在区间﹙﹣∞，2]上为减

已知函数f﹙x﹚＝x²－2ax＋5﹙a＞1﹚,若f﹙x﹚在区间﹙﹣∞，2]上为减，且对任意x1,x2属于[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|小于等于4,求实数a的取值范围

分析加详解~

Answer 1

f(x)=x²-2ax+5 对称轴为x=a (a>1)
区间﹙﹣∞，2]上递减,所以a≥2①
在[1,a+1]内,1<a<a+1
∴x=a时f(x)取得最小值为 f(a)=5-a²
∵点a跟 1和(a+1)距离分别为 (a-1)和 1,
∵a≥2
∴a-1≥1
∴点1比(a+1)离对称轴远,∴f(x)最大值为f(1)=6-2a
而总有|f(x1)-f(x2)|小于等于4
所以最大值跟最小值的差小于4就成立
f(1)-f(a)≤4
∴(6-2a)-(5-a²)≤4
化简得 a²-2a-3≤0
(a-3)(a+1)≤0
-1≤a≤3②
①②所以[2,3]

Answer 2

易知f(x)开口向上，对称轴x=a
因x≤2时，f(x)为减函数
则a≥2

显然1<a<a+1
表明f(x)对称轴在区间[1,a+1]上
同时表明f(x)在该区间上无单调性
此时f(x)min=f(a)=5-a^2

因a≥2，则a-1≥1
即a-1≥(a+1)-1
表明对称轴x=a靠近区间[1,a+1]的右端点
依据对称性易知f(x)max=f(1)=6-2a

要保证任意的|f(x1)-f(x2)|≤4
即要保证f(x)max-f(x)min≤4
于是有(6-2a)-(5-a^2)≤4
即a^2-2a-3≤4
解得-1≤a≤3

综上知，满足所有条件的a的取值范围为2≤a≤3

Answer 3

1，函数的对称轴为x=a，由于区间﹙﹣∞，2]上为减，x=a大于或者等于2.
2，由于（a+1）-a=1，a-1大于或者等于1，也就是说对于区间【1，a+1】，最大值肯定出现在a+1上，最小值是x=a时，f(a+1)-f(a)=1横小于4，所以a>=2
话说这题是不是出错了！

追问

没有打错啊是我资料上的，答案是[2,3] 我答案也看不懂~