Question

关于可分离变量微分方程的一个疑问？ 直接看图片吧！

Answer 1

全局上通解确实不一定是全部解，不过某种意义上讲通解在局部就是全部解。

不论是你的做法，还是参考书上的做法，本质上都是错误的，因为都只得到了x>0或者x<0时的局部解，而这两段区间是不能直接合并的。
你的做法的问题在于第一步，
x>0时y=lnx+C1
x<0时y=ln(-x)+C2
但是C1和C2可以不相等，因此不能将其合并为y=ln|x|+C。

注意微分方程本身就是一个局部的方程，从局部向整体的扩展不是平凡的，要注意安全性，尤其是碰到“分段函数”的时候。很多时候人们关心的只是局部解，有时甚至只能讨论局部解，在这种情况下对上面的问题则不需要太在意。

追问

我明白你说的了，但是你能告诉我在遇到这类问题时的处理原则吗，我很模糊，每次都不知道怎么做啊！做课后习题，做出来的答案都跟参考答案不一样！
谢谢！

追答

在做各种变换的时候注意一下天然的和人为引进的奇性就行了。
比如y'=1/x，那么x=0是一个天然的奇点，再比如很简单的y'=f(x)g(y)，转化到dy/g(y)=f(x)dx的时候已经额外要求了g(y)非零，那么还要另外处理g(y)=0的情况。粗略一点讲就是要注意各种本质上分段的函数。
当然每一步都很小心有时候会很麻烦。

至于答案形式不一样，那很正常，相差一个常数的等价变形很可能会面目全非，不定积分里就有不少这样的例子。不过这个也不难处理，把自己算出来的结果代回方程里去验算，这样至少可以知道自己算出来的是否是原方程的解，虽然仍不足以判断是否是全部解。

Answer 2

这个问题很多人才学的时候都迷惑过，但你只要明白通解不是全解就没问题了。
通解的定义是
如果含有n个任意常数C1，C2，C3，…，Cn的函数y=f(x，C1，C2，C3，…，Cn)是方程
F(x,y,y',y'',…,y^(n))的解，那么这样的解称为微分方程的通解
也就是说只要含有微分方程阶数个的常数，并且是微分方程的解的函数就是微分方程的通解，它并不要求包含全部解。所以求积分后可以不加绝对值。
当然具体问题具体分析就可以，你加了是绝对没错的，最多麻烦点。但如果没指明那个是负值其实就不用加

追问

不会吧，这个解释也行吗

追答

你只要记住通解不是全解就可以了 求通解的时候弄出x为正的情况就可以。。
微分方程中你做积分有些习惯和积分学不一样的。 积分学你要是算不定积分原函数有对数啥的里面要带上绝对值
算微分方程的通解一般情况下没必要

Answer 3

给你推荐个网站啊，自己看看
http://www.shumo.cn/ask/q.asp?id=5420