Question

如图，设AB，CD是夹在两平行平面α，β之间的异面线段，M,N分别为AB,AD的中点，求证：直线MN||α

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Answer 1

过D点作DF//BA，交平面α于点F，连接FA、FC

取DF的中点E,连接EM、EN

平面α//平面β

AB=FD          (平行平面间的平行线段相等)

M、E都是中点

AM=FE

AMEF是平行四边形

ME//AF

EN是三角形DFC的中位线，EN//CF

平面NEM//平面α

(如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一平面的两条相交直线，那么这两个平面平行)

所以MN//平面α

Answer 2

证明：设A，C在面α内，B，D在面β内，过A作AE‖CD交面β于E，取AE中点P，连结MP，NP，AC，ED，BE
∵AE‖CD
∴AEDC确定一平面c
∵AC为平面α与平面c交线
∵ED为平面β与平面c
交线
∵平面α‖平面β
∴AC‖ED
又∵AE‖CD
∴AEDC为平行四边形
∵N，P为CD，AE中点
∴ND‖PE且ND＝PE
∴NP‖ED
∵ED在平面β内
∴ED‖平面β
∵M，P为AB，AE中点
∴MP‖BE
∵BE在平面β内
∴MP‖平面β
∵MP，NP交于P且可确定平面d，则平面d‖平面β
∵MN在平面d内
∴MN‖平面β