Question

求函数解析式：f（x-1/x﹚=﹙x＋1/x﹚¹,求f﹙x﹚

Answer 1

求函数解析式：f（x-1/x﹚=﹙x＋1/x﹚，求f﹙x﹚
解一：当x>0时，f(x-1/x)=x+1/x=√[(x+1/x)²]=√(x²+1/x²+2)=√[(x-1/x)²+4]，故f(x)=√(x²+4)；
当x<0时，f(x-1/x)=x+1/x=-︱x+1/x︱=-√[(x+1/x)²]=-√(x²+1/x²+2)=-√[(x-1/x)²+4]，故f(x)=-√(x²+4)；
∴f(x)=±√(x²+4)，(x>0时取正号；x<0时取负号)
解二：令u=x-1/x=(x²-1)/x，x²-ux-1=0，故x=[u±√(u²+4)]/2，(根号前取正号时x>0，根号前取负号时x<0），代入原式得;
f(u)=[u+√(u²+4)]/2+2/[u+√(u²+4)]=[u+√(u²+4)]/2-[u-√(u²+4)]/2=√(u²+4)
或f(u)=[u-√(u²+4)]/2+2/[u-√(u²+4)]==[u-√(u²+4)]/2-[u+√(u²+4)]/2=-√(u²+4)
故f(x)=±√(x²+4)，(x>0时取正号；x<0时取负号)