Question

已知a,b,c为实数，且方程(a^2+b^2)x^2-2b(a+c)x+b^2+c^2=0有实根，证明：a,b,c成等比数列，且公比为x.

Answer 1

因为要有讲解，所以b^2-4ac>=0（此为公式，不代表题目中的字母）
(2b(a+c))^2-4(a^2+b^2)(b^2+c^2)
=-4(b^4-2b^2ac+a^2c^2)
=-4(b^2-ac)^2>=0
所以必须 b^2-ac=0, b^2=ac, c/b=b/a , 所以啊a、b、c等比
（解X=-b/2a,同上，不代表题目中的字母）
x=2b(a+c)/(2*(a^2+b^2))=2b(a+b^2/a)/(2*(a^2+b^2))=b/a
所以公比为X

Answer 2

方程的判别式=4b²（a+c）²-4（a²+b²）（b²+c²）=-4（b²-ac）²≥0
此时
b²-ac=0
即
b²=ac
所以a，b，c成等比数列
方程的判别式=0
方程有两等实根
将b²=ac代入的
a（a+c）x²-2b（a+c）x+c（a+c）=0
由于a+c≠0
化简得
ax²-2bx+c=0
将c=b²/a得
a²x²-2abx+b²=0
解得
ax=b
x=b/a 为公比
所以a，b，c成等比数列，公比为x