Question

等腰直角三角形ABC，角C=90度，p是三角形内一点，PB=1，PC=2，PA=3，求角BPC?

Answer 1

将△BPC绕点C逆时针旋转90°，得△AP'C，
(BC=AC ，旋转后BC与AC重合，点B恰好与点A重合)
∵△BPC≌△AP'C
∴∠BCP=∠ACP'，∠BPC=∠AP'C，（全等三角形对应角相等）
AP'=BP=1，CP'=CP=2（全等三角形的对应边相等）
∵∠BCP+∠ACP=90°，∠BCP=∠ACP'
∴∠ACP'+∠ACP=90°，即∠PCP'=90°
∵∠PCP'=90°，CP'=CP=2
∴PP'=2×根号2（根据勾股定理求值）
∵在△PAP'中，AP'=1，PA=3，PP'=2×根号2
∴AP'的平方+PP'的平方=PA的平方
∴∠PP'A=90°（直角三角形勾股定理逆定理）
∴∠AP'C=45°+90°=135°
∴∠BPC=135°

Answer 2

首先，我们将三角形CPB沿着C点旋转90度~得到新的三角形CP'A
易证 △CP'P为等腰直角三角形
角CP'P = 45°
CP' = CP = 2
P'P = 2√2
因为PA = 1 P'P = 2√2 AP = 3
即 PA^2 + P'P ^2 = AP^2
所以 角AP'P = 90
所以 角AP'C = 135
所以 角BPC = 135

Answer 3

将△CPB绕点C逆时针旋转90度得到△CP'B,连接PP'
所以△CPB全等于△CP'A
所以CP=CP' BP=P'A ∠PCB=∠P'CA
所以∠PCB+∠ACP=∠P'CA+∠ACP
因为角ACB等于90°所以角P'CP等于90°
在等腰直角三角形P'CP中角CP'P等于45°
因为CP=CP'=4
所以PP'等于4倍根号2
因为AP'=BP=2, AP=6
所以PP'等于根号下AP的平方减AP'的平方
PP'等于4倍根号2
即三角形PP'A是直角三角形。
所以角AP'P=90°
所以角BPC=角AP'C=角AP'P+角PP'C=90°+45°=135°
参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/59890878.html?si=2

Answer 4

上面的都是一种办法！
将△CPB绕点C逆时针旋转90度得到△CP'B,连接PP'
所以△CPB全等于△CP'A
所以CP=CP' BP=P'A ∠PCB=∠P'CA
所以∠PCB+∠ACP=∠P'CA+∠ACP
因为角ACB等于90°所以角P'CP等于90°
在等腰直角三角形P'CP中角CP'P等于45°
因为CP=CP'=4
所以PP'等于4倍根号2
因为AP'=BP=2, AP=6
所以PP'等于根号下AP的平方减AP'的平方
PP'等于4倍根号2
即三角形PP'A是直角三角形。
所以角AP'P=90°
所以角BPC=角AP'C=角AP'P+角PP'C=90°+45°=135°

Answer 5

把ΔBPC绕点C逆时针旋转90°到ΔAP'C，连PP'可证ΔPP'C为直角等腰三角形，
∴PP'=2√2，由旋转得AP'=BP=1，
∵AP'^2+PP'^2=AP^2
∴∠AP'P=90°
∵∠CP'P=45°
∴∠BCP'=90°+45°=135°