Question

已知x/y+z=y/x+z=z/x+y求x+y/z的值

Answer 1

x/y+z=y/x+z=z/x+y=k
x=k(y+z)
y=k(x+z)
z=k(x+y)
三式相加得：（x+y+z）=k（x+y+z）
所以（x+y+z）=0或者k=1
当x+y+z=0时，x+y=-z，所以x+y/z=-1
当k=1时x+y=z，所以x+y/z=1,

这种式子叫轮换对称式，都可以这样做。

追问

用等比性质做

追答

用等比性质也可以，
不过容易漏掉x+y+z=0的这个答案
等比性质做就是，将所有的分子的和除以所有的分母的和，仍然等于x/y+z=y/x+z=z/x+y

追问

具体一点

追答

不好意思，上面有个粗心错误，应该是k=1/2,
x/y+z=y/x+z=z/x+y=（x+y+z）/(y+z+x+z+x+y)=(x+y+z)/(2x+2y+2z)=1/2

Answer 2

　　令（y＋z）/x＝（z＋x）/y＝（y＋x）/z＝k,则：

　　y＋z＝kx,z＋x＝ky,y＋x＝kz,∴（y＋z）＋（z＋x）＋（y＋x）＝k（x＋y＋z）,

　　即：2（x＋y＋z）＝k（x＋y＋z）,而x＋y＋z不为0,∴k＝2,得：x＋y＝2z,

　　∴（x＋y－z）/（x＋y＋z）＝（2z－z）/（2z＋z）＝1/3.