Question

已知函数y=f(x)=(ax^2+1)/(bx+c) （a、b、c∈R,且a>0,b>0)是奇函数， 当x>0时，f(x)有最小值2，

已知函数y=f(x)=(ax^2+1)/(bx+c) （a、b、c∈R,且a>0,b>0)是奇函数，
当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<5/2
问函数f(x)图像上是否存在关于点（1，0）对称的两点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

是奇函数
则f(-x)=(ax²+1)/(-bx+c)=-f(x)=-(ax²+1)/(bx+c)
解得c＝0
所以f(x)=ax/b+1/(bx)
当x>0, a>0,b>0时
f(x)≥2√(ax/b*1/bx)=2√(a/b²)
即f(x)最小=2√(a/b²)=2
所以a=b² (1)
由已知f(1)=a/b+1/b=(a+1)/b<5/2
即a<5b/2-1 (1)代入
b²<5b/2-1
(b-1/2)(b-2)<0
解得1/2<b<2
因b∈N，所以b=1
则a=1
所以f(x)=x+1/x
若存在关于点（1，0）对称的两点
设为(x1, y1), (x2, y2)
则x1+x2=2 (2)
y1+y1=0 (3)
由y1=x1+1/x1 y2=x2+1/x2
得y1+y2=x1+x2+(x1+x2)/x1*x2
即0=2+2/(x1*x2)
x1*x2=-1 (4)
(2)(4)联立解得x1=1+√2 x2=1-√2
则y1=1+√2+1/(1+√2)=2√2
y2=1-√2+1/(1-√2)=-2√2
故所求两点为(1+√2, 2√2)和(1-√2, -2√2)

Answer 2

bucunzai