Question

方程x²-（k+1）x+1/4k²+1=0两根为某矩形的两邻边长，当对角线为根号5时，求k值

Answer 1

解：设矩形的两条邻边分别为a、b【则：a>0且b>0】
因为矩形对角线为根号5，则a²+b²=（根号5）²=5 【1】
又已知，x²-（k+1）x+1/4k²+1=0两根为某矩形的两邻边长。
所以，a+b=两根之和=-b/a=k+1
ab=两根之积=（1/4k²）+1
又a²+b²=（a+b）²-2ab=（k+1）²-2[(1/4k²)+1]=k²/2+2k-1【2】
由【1】、【2】可得：k²/2+2k-1=5
k²/2+2k-6=0，
解得：k=2或k=-6，当k=-6时，a+b=k+1=-5<0，不合题意【因为a、b是矩形的两边，则必然又：a+b>0且ab>0】，而k=2时，可以同时满足a+b>0和ab>0,因此，k=2。

Answer 2

x1+x2=-b/a=k+1,x1x2=c/a=1/4k²+1,矩形两邻边场有两根为
x1²+x2²=（x1+x2）²-2x1x2=（k+1）²-1/2k²-2=1/2k²-1+2k=5所以有，k=-6或者2若k=-6，则x1+x2=-b/a=k+1=-5＜0不成立，故有k=2

Answer 3

由题意：方程的两根X1=根号3，X2=2.代入得：3-（k+1）*根号3+1/4k平方+1=0，解一元二次方程，有：K=-6或K=2，带入题意，K=-6（舍去），故：K=2