Question

已知关于x的方程x^2-(k+1)X+1/4k^2+1=0的两根是一个矩形两边的长。 当矩形的对角线为根号5时，求k的值

Answer 1

x1+x2=k+1
x1x2=k²/4+1
即x1²+x2²=5
所以(x1+x2)²-2x1x2=5
k²+2k+1-k²/2-2=5
k²+4k-12=0
(k+6)(k-2)=0

△>=0
所以k²+2k+1-k²-4>=0
k>=3/2
所以k=2

Answer 2

x²-(k+1)X+1/4k²+1=0
x1²+x2²=(√5)²=5
x1+x2=k+1
x1*x2=1/4k²+1
(x1+x2)²=(k+1)²=x1²+x2²+2x1x2=5+2*(1/4k²+1)
k=2 k=-6
△=(k+1)²-4*(1/4k²+1)＞0
2k-3＞0
k＞3/2
∴k=2

Answer 3

求根公式算出x1=(k+1)-根号下（2k-2）,x2=(k+1)+根号下（2k-2）,两根与对角线构成直角三角形，且对角线为斜边，所以两根的平方和等于斜边的平方，求出k,或者根据根与系数的关系，x1的平方+x2的平方=(x1加x2)的平方减去2倍的x1乘以x2，两根之积等于1/4k^2+1，两根之和等于k+1代入计算也行，最后k=-6或者k=2